Το Κιβώτιο

Ένας έμπορος έχει στην αποθήκη του 6 κιβώτια χωρητικότητας 
15,16,18,19,20 και 31 κιλών, τα 5 από αυτά είναι γεμάτα καρφιά 
ενώ το ένα γεμάτο βίδες .Ένας πελάτης το πρωί αγόρασε δυο 
κιβώτια (από τα 6) γεμάτα καρφιά ενώ το απόγευμα ένας άλλος 
πελάτης αγόρασε και αυτός τα υπόλοιπα καρφιά που ήταν 
διπλάσια σε ποσότητα από όση περιείχαν τα δυο κιβώτια που 
πουλήθηκαν το πρωί.Ποιο από τα 6 κιβώτια περιείχε βίδες; 
(Κατ.34/Νο.734.)  

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2011/06/blog-post.html 

Λύση

Λύση του Βασίλη. Ο δεύτερος αγοραστής προφανώς αγόρασε τρία κουτιά τα οποία, εφόσον περιείχαν τη διπλάσια ποσότητα καρφιών, είχαν συνολικό άθροισμα κάποιον άρτιο αριθμό (αν τα δύο πρώτα είχαν ν καρφιά, αυτά θα είχαν 2ν, άρα άρτιο πλήθος). Συνεπώς, για να έχουν τρεις αριθμοί άθροισμα άρτιο πρέπει: α)και οι τρεις να είναι άρτιοι, αφού 2ν+2κ+2λ=2(ν+κ+λ), άρτιος. β)δύο περιττοί και ένας άρτιος, αφού, 2ν+1+2κ+1+2λ=2(ν+κ+λ+1), άρτιος. Επομένως, από τους δοθέντες αριθμούς προκύπτουν οι εξής πιθανοί συνδυασμοί αγοράς για τον δεύτερο αγοραστή: i)16+18+20=54, ii)15+16+19=50, iii)15+16+31=62, iv)16+19+31=66, v)15+18+19=52, vi)15+18+31=64, vii)18+19+31=68, viii)15+19+20=54, ix)15+20+31=66, x)19+20+31=70. Η ελάχιστη ποσότητα που μπορεί να αγόρασε ο πρώτος αγοραστής είναι 15+16=31 κιλά καρφιά, άρα ο δεύτερος αγόρασε τουλάχιστον 2x31=62 κιλά. Συνεπώς δεκτές είναι μόνο οι παρακάτω τριάδες: iii)15+16+31=62, iv)16+19+31=66, vi)15+18+31=64, vii)18+19+31=68, ix)15+20+31=66, x)19+20+31=70. Τώρα πρέπει να είναι εφικτό, δύο από τους εναπομείναντες αριθμούς κάθε τριάδας να έχουν άθροισμα ίσο με το μισό της τριάδας. Αναλυτικά έχουμε: iii)Μένουν: 18, 19, 20, αδύνατο να έχουν άθροισμα 31, iv)Μένουν: 15, 18, 20, 18+15=33, δεκτό, vi)Μένουν: 16, 19, 20, αδύνατο να έχουν άθροισμα 32, vii)Μένουν: 15, 16, 20, αδύνατο να έχουν άθροισμα 34, ix)Μένουν: 16, 18, 19, αδύνατο να έχουν άθροισμα 33, x)Μένουν: 15, 16, 18, αδύνατο να έχουν άθροισμα 35. Οπότε η μοναδική λύση είναι η iv), δηλαδή, ο πρώτος να αγόρασε τα κιβώτια χωρητικότητας 15 και 18 κιλών, α δεύτερος τα κιβώτια χωρητικότητας 16, 19 και 31 κιλών και έτσι προκύπτει ότι αυτό που περιέχει τις βίδες είναι το κιβώτιο των 20 κιλών. Λύση του Papaveri. Το κιβώτιο των 20κιλών περιέχει βίδες .Η συνολική ποσότητα των καρφιών είναι πολλαπλάσιο του 3, εφόσον αγοράστηκε σε δυο δόσεις η μια διπλάσια της άλλης .Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού είναι πολλαπλάσιο του 3. Αν όμως προσθέσουμε όλες τις ποσότητες καρφιά και βίδες έχουμε 15+16+18+19+20+ 31=119 το οποίο διαιρούμενο με το 3 δίνει υπόλοιπο 2.Αρα και το κουτί που περιέχει βίδες αφήνει υπόλοιπο 2 διαιρούμενο με το 3., κάτι που ισχύει μόνο με το 20=3Χ6+2. Τελικά ο πρώτος πελάτης αγόρασε τα κιβώτια των 15 και 18κιλών , ενώ ο δεύτερος τα κιβώτια των 16 , 19 ,31κιλών.