Η Ταινία

Στην μακρινή χώρα της Φτηνολάνδης, η τιμή εισόδου σε έναν  κινηματογράφο καθορίζεται από την ηλικία και την ιδιότητα του θεατή. Το παιδικό εισιτήριο κοστίζει μισό ευρώ, το  φοιτητικό εισιτήριο κοστίζει δυο  ευρώ, ενώ το κανονικό εισιτήριο  κοστίζει τρία ευρώ. Γνωρίζουμε ότι την ταινία   “Χ”  την παρακολούθησαν  30 θεατές  και οι συνολικές εισπράξεις ήταν 30 ευρώ . Ο κ. Παπαδόπουλος  που παρακολούθησε την ταινία μαζί με το γιο του, που είναι φοιτητής στο πολυτεχνείο και την κόρη του που πηγαίνει στην 1η δημοτικού,  δήλωσε ότι δεν έχει δει χειρότερη ταινία στην ζωή του. Πόσοι ήταν φοιτητές, πόσα ήταν τα  παιδιά και πόσοι ήταν οι ενήλικοι θεατές; (Κατ.34/Νο.740)

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/06/blog-post_337.html

Λύση

Λύση του Papaveri. Οι φοιτητές ήταν 5, τα παιδιά 22 και οι ενηλικες θεατές 3. Έστω «Π» ο αριθμός των παιδιών, «Φ» ο αριθμός των φοιτητών και «Υ» ο αριθμός των υπόλοιπων θεατών. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: Π+Φ+Υ=30 (1) 1/2Π+2Φ+3Υ=30 (2) Λύνουμε ως προς «Π» την (1) κι’ έχουμε: Π+Φ+Υ=30 ---> Π=30-Φ-Υ (3) Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε: 1/2Π+2Φ+3Υ=30 ---> 1/2*(30-Φ-Υ)+2Φ+3Υ=30 ---> 30-Φ-Υ+4Φ+6Υ=60 ---> 3Φ+5Υ=60-30 ---> 5Υ=30-3Φ ---> Υ=(30-3Φ)/5 ---> Υ=[3*(10-Φ)]/5 (4) Διερεύνηση: Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε τη διερεύνηση των ριζών. Ο αριθμός «Υ» των υπόλοιπων θεατών είναι ακέραιος αριθμός και κατά συνέπεια ο παράγοντας (10-Φ) είναι πολλαπλάσιο του αριθμού 5. Οι ακέραιες τιμές του «Φ», για τις οποίες ο αριθμός «Υ» είναι πολλαπλάσιο του 5 είναι οι 0, 5, και 10. Για Φ=0, απορρίπτεται, γιατί από την οικογένεια του κ. Παπαδόπουλου γνωρίζουμε ότι την ταινία τη παρακολούθησαν τουλάχιστον ένας θεατής από κάθε κατηγορία (Π διάφορο του 0, Φ διάφορο το0 και Υ διάφορο το 0). Για Φ=5 έχουμε: Υ=[3*(10-Φ)]/5 ---> Υ=[3*(10-5)]/5 ---> Υ=3*5/5 ---> Υ=3*1 ---> Υ=3 (5) Για Φ=10 έχουμε Υ=[3*(10-Φ)]/5 ---> Υ=[3*(10-10)]/5 ---> Υ=3*0/5 ---> Υ=3*0 ---> Υ=0 Απορρίπτεται λόγω του ότι (Π διάφορο του 0, Φ διάφορο το0 και Υ διάφορο το 0). Αντικαθιστούμε τη (5) στη (3) κι’ έχουμε: Π=30-Φ-Υ ---> Π=30-5-3 ---> Π=22 Τη ταινία την παρακολούθησαν 22 παιδιά, 5 φοιτητές και 3 ενήλικοι υπόλοιποι θεατές. Επαλήθευση: Π+Φ+Υ=30 ---> 22+5+3=30 1/2Π+2Φ+3Υ=30 ---> 1/2*22+2*5+3*3=30 ---> 11+10+9=30 ο.ε.δ. Λύση του Ε. Αλεξίου. 0,5x+2y+3(30-x-y) ---> 0,5x+2y+90-3x-3y=30 ---> 2,5x+y=60 Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με τον αριθμό 2 κι’ έχουμε: 2,5x+y=60 ---> 2*2,5x+2y=2*60 --->5x+2y=120 ---> 2y=120-5x ---> y=60-5x/2=5(12-x/2). Θέτω χ=2n ---> y=5(12-n), n=1,2,3,... (1) Επειδή z μεγαλύτερο ή ίσο με 1 ---> x+y μικρότερο του 30 --->5x μικρότερο του 150-5y --> 120-2y μικρότερο του 150-5y ---> 3y μικρότερο του 30 ---> y μικρότερο του 10 και σε συνδυασμό με την (1) ---> n=11. Συνεπώς x=2*11=22, y=5 και z=3 (22*0.5+5*2+3*3=30) Λύση του Βασίλη. Έστω x, y, z τα πλήθη των παιδιών, των φοιτητών και των ενηλίκων θεατών αντίστοιχα. Οι x, y, z είναι θετικοί ακέραιοι μικρότεροι του 28, εφόσον έχουμε τουλάχιστον έναν θεατή από κάθε κατηγορία. Ισχύουν επίσης: x+y+z=30 (1) 0,5x+2y+3z=30 (2) Πολλαπλασιάζουμε την (2) επί δύο και έχουμε: 2x(2)=>x+4y+6z=60 (3) Αφαιρούμε την (1) από την (3) και έχουμε: (3)-(1)---> 3y+5z=30 ή y=(30-5z)/3 (4) Ο y είναι είναι ακέραιος, άρα πρέπει και ο (30-5z)/3 να είναι ακέραιος, δηλαδή πρέπει η παράσταση Α=30-5z να είναι πολλαπλάσια του 3. Αυτό ισχύει για z=3 μόνο. Τότε είναι, λόγω της (4): y=5 και λόγω της (1): x=22. Επομένως στους θεατές είχαμε 22 παιδιά, 5 φοιτητές και 3 ενήλικες θεατές. Πιθανότατα η ταινία ήταν παιδική, για αυτό και δεν άρεσε στον κ. Παπαδόπουλο.