Η Εξίσωση

Στην ανωτέρω εξίσωση ν’ αντικατασταθούν τα γράμματα με αριθμούς. Στα ίδια γράμματα  αντιστοιχούν ίδιοι αριθμοί και στα διαφορετικά γράμματα αντιστοιχούν διαφορετικοί αριθμοί. (Κατ.34/Νο.748)

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2013/01/blog-post_29.html

Λύση

Έστω ΝΑ=κ. Τότε η σχέση (ΝΑ)^2=ΕΝΑ γίνεται: (ΝΑ)^2=ΕΝΑ ---> κ^2=100μ+κ, (με 1 μικρότερο ή ίσο με "μ" μικρότερο ή ίσο με 9 ή ισοδύναμα) κ^2-κ=100μ ή κ(κ-1)=100μ (1) Ο αριθμός [κ(κ-1)] είναι τριψήφιος που λήγει σε δυο μηδενικά και μάλιστα είναι γινόμενο δυο διαδοχικών θετικών ακεραίων πρώτων μεταξύ τους .Από την σχέση (1) συμπεραίνουμε ότι ο ένας από τους δυο αριθμούς (ο "κ" ή ο «κ-1») διαιρείται με το 4 και ο άλλος με το 25. Αν ο «κ» ή ο (κ-1) ισούται με το 25θ, θ μεγαλύτερ ή ισο με 2, τότε θ μεγαλύτερ ή ισο με 2, ή 25θ μεγαλύτερ ή ισο με 50 και το γινόμενο κ*(κ-1) μεγαλύτερ ή ισο με 50* 49=2.450 που έχει περισσότερα από τρία ψηφία. Άρα μένουν δυο περιπτώσεις : α)κ-1 =25 και κ=26 ( που όμως δεν διαιρείται με το 4 ),άρα απορρίπτεται. β)κ=25 και κ-1=24 που μας δίνουν την μοναδική λύση 252=625 Ή Διερεύνηση: κ(κ-1)=100μ ---> μ=[κ*(κ-1)]/100 (1) Από την ανωτέρω εξίσωση βλέπουμε ότι κ/100=t πρέπει να είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός. Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "κ" τις τιμές από το 1 έως το N, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "μ" είναι ο αριθμός κ=25 (2) Αντικαθιστούμε τη τιμή του «κ» στην (1) κι’ έχουμε: μ=[κ*(κ-1)]/100 ---> μ=[25*(25-1)]/100 ---> μ=(25*24)/100 ---> μ=600/100 ---> μ=6 (3) Επαλήθευση: (ΝΑ)^2=ΕΝΑ ---> κ^2=100μ+κ ---> 25^2=[(100*6)+25] ---> 625=600+25 Άρα (ΝΑ)^2=ΕΝΑ ---> 25^2=625 Αν "κ" μεγαλύτερο του 25, δίνει τιμή του «μ» διψήφιο αριθμό, οπότε απορρίπτεται, λόγω του ότι ο αριθμός στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης είναι τριψήφιος και όχι τετραψήφιος.. Λύση του Ε. Αλεξίου. 10 μικρότερο του NA μικρότερο του 1.000^0.5=31,62... Α=1 ή 5 ή 6 και εύκολα βρίσκουμε 25^2=625 Λύση του halb Wesen halb Ding. Δεν είμαι σίγουρος οτι ό τρόπος που σκέφτηκα είναι ο βέλτιστος, αλλά πάει κάπως έτσι: Το Α=0 αποκλείεται γιατί θα είχαμε αποτέλεσμα σε 2 μηδενικά. Το Α=1 αποκλείεται γιατί το ψηφίο των δεκάδων του τετραγώνου θα προκύψει από το διπλάσιο του ψηφίου των δεκάδων της βάσης. Το Α=6 αποκλείεται γιατί το ψηφίο των δεκάδων του τετραγώνου θα προκύψει από το διπλάσιο + 3 του ψηφίου των δεκάδων της βάσης. Εδώ βέβαια μας κάνει το 7, αλλά το αποτέλεσμα θα είναι τετραψήφιος. Έτσι μένουν οι διψήφιοι σε 5 και αφού κάθε τετράγωνό τους τελειώνει σε 25, καταλήγουμε σε αυτόν, δηλ 25^2 = 625.