Ο Αριθμός

Στην πίσω όψη κάτω από κάθε τετράγωνο μιας σκακιέρας έχει σημειωθεί ένας ακέραιος αριθμός διάφορος του μηδενός. Μόνο οι αριθμοί των τετραγώνων a8, h8 και a1 είναι εμφανείς (επί της εμπρόσθιας όψης της σκακιέρας) και είναι αντίστοιχα οι α8=1, θ8=14  και α1=143. Επάνω στη σκακιέρα επίσης τοποθετούμε 8 πύργους με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε κανένας τους να μην υποστηρίζει κάποιον άλλο. Με όποιο συνδυασμό όμως και να τοποθετηθούν οι πύργοι το αποτέλεσμα του γινομένου των 8 αριθμών (των τετραγώνων επί των οποίων βρίσκονται) παραμένει το ίδιο. Να βρεθεί ο αριθμός του τετραγώνου θ1. (Κατ.34/Νο.722)

Πηγή:http://bousasso.blogspot.gr/2011/09/blog-post_9805.html

Λύση

Ο αριθμός του τετραγώνου «θ1» είναι 2.002. Αρχικά τοποθετούμε τους 8 πύργους - έναν σε κάθε τετράγωνο- στην διαγώνιο α8-θ1, οπότε προφανώς κανένας τους δεν υποστηρίζει κάποιον άλλο. Βλέπε ανωτέρω (Σχ.1). Μετακινούμε τον πύργο από το α8 στο α1 και τον πύργο από το θ1 στο θ8. Βλέπε ανωτέρω (Σχ.2). Και με την νέα διάταξη κανείς τους δεν υποστηρίζει κάποιον άλλο. Βάσει της εκφώνησης ισχύει: α8*β7*γ6*δ5*ε4*ζ3*η2*θ1=α1*β7*γ6*δ5*ε4*ζ3*η2*θ8 Διαιρούμε και τα δύο μέλη με (β7*γ6*δ5*ε4*ζ3*η2) κι’ έχουμε: (α8*β7*γ6*δ5*ε4*ζ3*η2*θ1)/(β7*γ6*δ5*ε4*ζ3*η2)=(α1*β7*γ6*δ5*ε4*ζ3*η2*θ8)/ (β7*γ6*δ5*ε4*ζ3*η2) ---> α8*θ1=α1*θ8 Αντικαθιστούμε τις τιμές κι’ έχουμε: 1*θ1=143*14 ---> θ1=2.002. Λύση του Ανώνυμος. Έστω ψ το γινόμενο όλων των αριθμών των τετραγώνων πάνω στα οποία βρίσκονται οι πύργοι. Αφού αυτό μένει σταθερό, όποια διάταξη και αν έχουν έχουμε για τις επόμενες δύο διατάξεις: α) Αν όλοι οι πύργοι είναι τοποθετημένοι κατά μήκος της μεγάλης μαύρης διαγωνίου (α1-θ8), τότε θα ισχύει ότι: 14*143*γ=ψ (1), όπου «γ» το γινόμενο των αριθμών των τετραγώνων (β2, γ3, δ4, ε5, ζ6, η7). β) Έχουμε την εξής διάταξη πύργων: (α8, β2, γ3, δ4, ε5, ζ6, η7, θ1). Τώρα το γινόμενο θα είναι: 1*γ*θ1=ψ (2), όπου «γ» το γινόμενο των αριθμών των τετραγώνων (β2, γ3, δ4, ε5, ζ6, η7). Διαιρούμε κατά μέλη και έχουμε: (2)/(1)=θ1/14*143=1 ---> θ1=(14*143)*1 ---> θ1=2002.