Ο Περίεργος Αριθμός

Βρείτε τον τετραψήφιο αριθμό αβγδ, τον οποίο εάν προσθέσουμε τον εαυτό του τέσσερις φορές θα βρούμε τον τετραψήφιο αριθμό δγβα, δηλαδή, τον αριθμό αβγδ με τα ψηφία του αντιστραμμένα. (Κατ.26/Νο.38)

Λύση

Έστω αβγδ ο τετραψήφιος αριθμός, ο οποίος παριστάνεται ως 1.000α+100β+10γ+δ, εφόσον πολλαπλασιάζεται επί 4, δίνει γινόμενο έναν τετραψήφιο αριθμό, που προ- φανώς θα είναι μεγαλύτερος του 4.000, 1.000α+100β+10γ+δ μεγαλύτερο του 4.000. Το «α» πρέπει να ισούται με 1 ή 2, το δε «δ*4» δίνη πάντα έναν άρτιο αριθμό και συνεπώς το ψηφίο α = 2 και το δ = 8. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε τη σχέση: 4*(1.000α+100β+10γ+δ) = 1.000δ+100γ+10β+α --> 4*(1.000*2+100β+10γ+8) = 1.000*8+100γ+10β+2 --> 4*(2.000+100β+10γ+8) = 8.000+100γ+10β+2 --> 8.000+400β+40γ+32 = 8.000+100γ+10β+2 --> 8.000+400β+32-8.000-10β-2 = 100γ-40γ --> 390β-30 = 60γ --> 60γ = 30(13β+1) --> 13β+1 =60γ/30 --> 13β+1 = 2γ (1) Επειδή το γινόμενο 2γ είναι μικρότερο του 20, 2γ μικρότερο του 20, έπεται ότι και η παράσταση 13β+1 είναι μικρότερο του 20, 13β+1 μικρότερο του 20, από την οποία προκύπτει ότι το β = 1. Αντικαθιστούμε τη τιμή του "β" στην (1) κι’ έχουμε: 13β+1 = 2γ --> 13*1+1 = 2γ --> 2γ = 14 --> γ =14/2 --> γ = 7 Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 2.178. Επαλήθευση: 4*2.178 = 8.712 ο.ε.δ. Ή Από το τελευταίο ζευγάρι ψηφίων της ισότητας που θέλουμε να επαληθεύσουμε έχουμε πως: 4*Α mod 10 = Δ. Αυτός ο μαθηματικός συμβολισμός πολύ απλά σημαίνει πως οι μονάδες του αριθμού 4*Α πρέπει να ισούνται με το Δ. Από το πρώτο ζευγάρι ψηφίων της ισότητας έχουμε πως: 4*Δ mod 10 = Α, που σημαίνει πως οι μονάδες του αριθμού 4*Δ πρέπει να ισούνται με το Α. Για να ισχύουν ταυτόχρονα αυτές οι δύο σχέσεις οι δυνατοί συνδυασμοί των Α και Δ είναι οι: (Α=0 και Δ=0) ή (Α=2 και Δ=8) ή (Α=4 και Δ=6) ή (Α=6 και Δ=4) ή (Α=8 και Δ=2). Το Δ όμως δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο του 2 γιατί ο αριθμός ΑΒΓΔ θα ήταν πενταψήφιος. Επίσης το Δ δεν μπορεί να είναι 0 γιατί ο αριθμός ΑΒΓΔ θα ήταν τριψήφιος. Έτσι ο μόνος συνδυασμός που μπορεί να ισχύει είναι αυτός με Α=8 και Δ=2. Η αρχική ισότητα μπορεί τώρα να γραφεί συμβολικά ως: 8ΒΓ2 = 4 * 2ΓΒ8 και μαθηματικά ως: 8*1000 + Β*100 + Γ*10 + 2 = 4*2*1000 + 4*Γ*100 + 4*Β*10 + 4*8 Λύνουμε ως προς Β και βρίσκουμε ότι Β = (13Γ+1)/2 . Το Γ δεν μπορεί να είναι 0 γιατί το Β δεν βγαίνει ακέραιος. Το Γ επίσης δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 2 γιατί το Β βγαίνει μεγαλύτερο του 10 ενώ ξέρουμε πως είναι μονοψήφιος αριθμός. Άρα η μοναδική δυνατή περίπτωση είναι αυτή όπου Γ=1 και Β=7. Έτσι αντικαθιστώντας τα Α,Β,Γ,Δ στην αρχική ισότητα επαληθεύουμε πως 8712 = 4 * 2178. Ή Ο αριθμός αβγδ είναι ο αριθμός 2178 (4x2178=8712). Για αρχή πρέπει να προσδιοριστεί τα α και δ. Αφού ο δγβα είναι 4ψήφιος,έπρεπε: 4α=δ μικρότερο του 10 μικρότερο του12 --> α μικρότερο του3 Άρα α=1 ή α=2 (απορρίπτεται το α=0, γιατί τότε δεν θα ήταν γρίφος!) Για α=1 δ=4 αλλά 4δ=16 αλλά α/= 6 άρα απορρίπτεται Μένει α=2 άρα δ=8 Για να ισχύει αυτή η συλλογιστική πρέπει 4β μικρότερο του 10 μικρότερο του12 --> β μικρότερο του 3 άρα β=1 ή β=2 Για β=2 γ=8 αλλά 4γ+3=35 (το +3 από τα κρατούμενα του 4δ=32) 5/=β=2 άρα β=1! 4x1+ε=γ και 4γ=10ε+1 (1=β) Από τις 2 σχέσεις προκύπτει --> γ=7 Λύση του Γ. Ριζόπουλου. H γενική εξίσωση που λύνει το πρόβλημα είναι (με τους περιορισμούς για τα ψηφία) η: 4*(1000*α+100*β+10*γ+δ) = 1000*δ + 100*γ + 10*β + α Με απαλοιφές,δοκιμές κ.λ.π βρίσκουμε τη λύση (ειδικά αν τη βάλουμε στη Γουλφ-ραμάλφα.. :-) ) αλλά θα επιχειρήσω μια άλλη προσέγγιση. Ο αριθμός αβγδ πρέπει να είναι 0 mod9 (αυτό δεν είναι προφανές.Χρειάζεται απόδειξη,αλλά μιαν άλλη φορά.) Προφανώς αβγδ μικρότερο του 2500 (αλλιώς 4*[αβγδ]θα ήταν 5ψήφιος) Αρα το α είναι είτε 1 είτε 2. Αλλά ο δγβα είναι 0 mod4, άρα το 1 αποκλείεται,άρα α=2 4 φορές το ψηφίο δ θα δίνει λοιπόν 2 mod 10 άρα το δ θα είναι 8 (4*8=32) ή 3 (3*4=12) Αλλά 4 * 2χχχ δεν κάνει ποτέ 3χχχ άρα το ψηφίο δ είναι το 8. Έχουμε 2χχ8 Για να "μηδενίσει" το mod 9 προφανώς λείπουν τα ψηφία 1 και 7 (1+8 , 2+7) ---2178 2178*4=8712 οκ. (σημειωτέον πως αυτό μας δείχνει αμέσως πως αν θέλουμε τον πενταψήφιο αριθμό που 4 φορές δίνει τον αντίστροφό του ,εφόσον έχει περιττό αριθ. ψηφίων(5), μένει μόνο να βάλουμε ένα 9 στη μέση (για να διατηρηθεί το 0 mod9 με ένα μόνο ψηφίο). Πραγματικά, 21978*4=87912) Λύση του Ε. Αλεξίου. Παρατηρώ ότι για α,δ μόνες αποδεκτές λύσεις α=1, δ=4 (1) ή α=2 δ=8 (2) (για α μεγαλύτερο ή ίσο του3 --> δ μεγαλύτερο ή ίσο του12, μη δεκτό πενταψήφιος αριθμός ο δγβα) Μας δίνεται 4αβγδ=δγβα --> 4000α+400β+40γ+4δ=1000δ+100γ+10β+α --> 3999α+390β-60γ-996δ=0 αν (1) --> 3999 +390β-60γ -3984=0 --> 15 +390β-60γ=0 --> 390β-60γ= -15 --> γ=13β/2 + 1/4 αδύνατον και απορρίπτεται αν (2) --> 3999*2+390β-60γ-996*8 =0 --> 390β-60γ+30=0 --> 39β-6γ+3=0 --> γ=13β/2 +1/2 για β=1 --> γ=13/2+1/2=14/2=7 δεκτό, για β=2 --> γ=13*2/2+1/2, άτοπο άρα α=2, β=1, γ=7, δ=8 (4*2178= 8712 σωστό.)