Το Μοίρασμα

Κάποιος σας δίνει 100.090€ και σας λέει να τα μοιράσετε σε δέκα κουτιά, όπως εσείς θέλετε. Αφού τα μοιράσετε στην συνέχεια κλείνει τα κουτιά και τ’ ανακατεύει, χωρίς να βλέπετε εσείς. Μετά σας ζητάει να επιλέξετε δύο από τα δέκα κουτιά κερδίζοντας την διαφορά από τα δύο ποσά που περιέχονται μέσα σ’ αυτά. Με ποιο τρόπο θα μοιράζατε τα χρήματα, ώστε να κερδίσετε σίγουρα το μεγαλύτερο ποσό; (Κατ.27/Νο.396)

Πηγή:http://www.thep.gr/modules.php?name=Forums&file=viewtopic&t=149

Λύση

Στο πρώτο κουτί βάζουμε 10€. Σε κάθε άλλο κουτί 2.222€ παραπάνω από το προηγούμενο.Δηλαδή: Στο δεύτερο κουτί βάζουμε 10+2.222=2.232€. Στο τρίτο κουτί βάζουμε 2.232+2.222=4.454€. Στο τέταρτό κουτί βάζουμε 4.454+2.222=6.676€. Στο πέμπτο κουτί βάζουμε 6.676+2.222= 8.898€. Στο έκτο κουτί βάζουμε 8.898+2.222=11.120€. Στο έβδομο κουτί βάζουμε 11.120+2.222= 13.342€. Στο όγδοο κουτί βάζουμε 13.342+2.222= 15.564. Στο ένατο κουτί βάζουμε 15.564+2.222= 17.786€. Στο δέκατο κουτί βάζουμε 17.786+2.222= 20.008. Σύνολο:10+2.232+4.454+6.676+8.898+11.120+13.342+15.564+17.786+20.008=100.090€. Έτσι, ότι και να επιλέξει θα πάρει 2.222€ που είναι και το μεγαλύτερο ποσό. Λύση του Ε. Αλεξίου. Πλήρη λύση δεν έχω. Η αριθμητική πρόοδος, αυτή που έγραψες 10, 2.232, 4454, 6.676, 8.898, 11.120, 13.342, 15.564, 17.786, 20.008 είναι σωστή αν μιλάμε για ακέραια ποσά ευρώ. Ξέρουμε το ελάχιστο ποσό που μπορεί να κερδίσει 2.222, το μέγιστο ποσό 19.998, ήδη στα έχω γράψει παραπάνω πρέπει να βρούμε το μέσο προσδοκώμενο κέρδος θέλει λίγη δουλίτσα, αλλά υπολογίζεται, γιατί αρκετοί συνδυασμοί λόγω αριθμητικής προόδου έχουν ίδια ποσά διαφορά. Από 10 κουτιά διαλέγει 2, άρα συνδυασμοί C(10,2)=45. Από αυτούς οι 9 δίνουν διαφορά-κέρδος 2.222*1=2.222€, οι 8 δίνουν διαφορά-κέρδος 2.222*2=4.444€, οι 7 δίνουν διαφορά-κέρδος 2.222*3=6.666€, οι 6 δίνουν διαφορά-κέρδος 2.222*4=8.888€, οι 5 δίνουν διαφορά-κέρδος 2.222*5=11.110€, οι 4 δίνουν διαφορά-κέρδος 2.222*6=13.332€, οι 3 δίνουν διαφορά-κέρδος 2.222*7=15.554€, οι 2 δίνουν διαφορά-κέρδος 2.222*8=17.776€, και ο τελευταίος, ο καλύτερος δίνει διαφορά-κέρδος 2.222*9(=20.008-10)=19.998€. Αθροίζουμε όλα τα γινόμενα 9*2.222+8*4.444+7*6.666+6*8.888+5*11.110+4*13.332+3*15.554+2*17.776+1.998=348.630. Αυτό είναι το συνολικό άθροισμα κέρδους όλων των δυνατών περιπτώσεων που είναι 45. Άρα μέσο προσδοκώμενο κέρδος 348.630/45=7.747+1/3 ευρώ. Τελειώσαμε με την αριθμητική πρόοδο, πρέπει να βρούμε και τι γίνεται με την γεωμετρική που τα πράγματα είναι πιο δύσκολα, να βρούμε το ελάχιστο ποσό που θα είναι σαφώς μικρότερο της αριθμητικής προόδου (2.222), το μέγιστο δυνατό κέρδος που είναι σαφώς μεγαλύτερο της αριθμητικής προόδου και μετά το μέσο κέρδος. Αλλά από εμένα το πρόβλημα κλείνει εδώ και μαθηματικά, δεν μπορώ να το υπολογίσω, αλλά δεν παρουσιάζει και κανένα ενδιαφέρον για μένα αλλά και κυρίως από ιδιοσυγκρασία! Η γεωμετρική πρόοδος ταιριάζει σε "ριψοκίνδυνους", τζογαδόρους ενώ η αριθμητική πρόοδος ταιριάζει σε εγκρατείς και αυτάρκεις. Ωραιότατα! Δεν δώσαμε πλήρη μαθηματική λύση, αλλά δώσαμε κοινωνιολογική-ψυχολογική λύση!:-)