Οι Σφαίρες

Ένα κουτί περιέχει αριθμημένες σφαίρες από το 1 έως το (6κ+2), κ€Ν. Παίρνουμε τυχαία μία σφαίρα από το κουτί και η πιθανότητα ο αριθμός που αναγράφεται πάνω σε αυτή να διαιρείται με το 6 είναι 5/31. Πόσες σφαίρες έχει το κουτί; (Κατ.33/Νο.38)

Λύση

Μέσα στο κουτί υπάρχουν 62 σφαίρες. Είναι προφανές ότι για κάθε ακέραιο κ, αν θεωρήσουμε κ διδοχικούς ακέραιους, τότε κάποιος από αυτούς διαιρείται με το κ. Έτσι υπάρχουν κ ακέραιοι που διαιρούνται με το 6 από τους 1,2,3,4,...,(6κ+2). Επομένως από την υπόθεση έχουμε: κ/(6κ+2)=5/31 (1) κ/(6κ+2)=5/31 --> 31κ=5*(6κ+2) --> 31κ=30κ+10 --> 31κ-30κ=10 --> κ=10 (2) Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) κι’ έχουμε: κ/(6κ+2)=5/31 --> 10/[(6*10)+2]=5/31 --> 10/(60+2)=5/31 --> 10/62=5/31 --> 10*31=5*62 --> 310=5*62 Λύση του Ε. Αλεξίου. Από τους 6κ+2 αριθμούς οι κ αριθμοί διαιρούνται με το 6, [πχ για κ=3 έχουμε 3*6+2=20 αριθμούς (1,2,3,...6,..,12,...18,19,20)], άρα ή πιθανότητα ένας τυχαίος αριθμός να διαιρείται από το κ είναι: κ/(6κ+2) και αφού η πιθανότητα αυτή μας δίνεται ίση με 5/31 → κ/(6κ+2)=5/31 → 31k=5*6k+2*5 → k=10, άρα το κουτί έχει 6*10+2=62 σφαίρες. Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Η λύση δεν είναι μονοσήμαντη. 31=1 mod 6 5/31=10/62 o.k (62=2mod6) 62 σφαίρες η ελάχιστη λύση. 40/248=5/31 η επόμενη. 248=2 mod6 248 σφαίρες Επόμενη λύση 992 σφαίρες (40*4)/(248*4)=5/31 κ.λ.π. ανά 4πλάσιο έχουμε ξανά 2 mod6 αριθμό (της μορφής 6ν+2).