Ο Γρίφος των Αυγών

Η κυρά Μαρία πήγαινε κάθε Τετάρτη στη λαϊκή  για να πουλήσει φρέσκα αυγά 
από τις κότες της. Μια από αυτές τις Τετάρτες έγινε το εξής περίεργο:

Πούλησε τo 1/2 των αυγών που είχε σε κάποιον και του έδωσε και μισό αυγό ως 
δώρο. Μετά πούλησε το 1/3 από όσα αυγά είχαν μείνει σε κάποιον άλλον και 
του έδωσε και 1/3 του αυγού ως δώρο. Μετά πούλησε το 1/4 από όσα αυγά 
είχαν μείνει σε κάποιον άλλον και του έδωσε και 1/4 του αυγού ως δώρο.

Τέλος πούλησε το 1/5 από όσα αυγά είχαν μείνει σε κάποιον άλλον και του
έδωσε και 1/5 του αυγού ως δώρο.

Ό,τι αυγά περίσσεψαν τα μοίρασε εξίσου σε 13 συγγενείς της.

Ποτέ, όμως, δεν χρειάστηκε να σπάσει κάποιο αυγό σ’ αυτή τη διαδικασία.

Πόσα ήταν τα ελάχιστα αυγά που μπορεί να είχε αρχικά η κυρά Μαρία; (Κατ.34/Νο.708)

Πηγή:http://www.youreka.gr/?p=355

Λύση

Λύση του μαθηματικού Θεόδωρου Δρούγα. Η κυρά Μαρία είχε 719 αυγά όταν πήγε στη Λαϊκη για να τα πουλήσει. Έστω «χ» το αρχικο πληθος των αυγών. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε: Στον πρώτο πούλησε: χ/2+1/2= (χ+1)/2 αυγά κι’ έμειναν υπόλοιπο: χ-(χ+1)/2=(2χ-χ-1)/2=(χ-1)/2 αυγά. Στον δεύτερο πούλησε: (1/3)(χ-1)/2+1/3=(χ-1)/6+1/3=(χ-1+2)/6=(χ+1)/6 αυγά κι’ έμειναν υπόλοιπο: (χ-1)/2-(χ+1)/6=[3*(χ-1)-(χ+1]/6=(3χ-3-χ-1)/6=(2χ-4)/6=2*(χ-2)/6=(χ-2)/3αυγά. Στον τρίτο πούλησε: (1/4)*(χ-2)/3+1/4=(χ-2)/12+1/4=(χ-2+3)/12=(χ+1)/12 αυγά κι’ έμειναν υπόλοιπο: (χ-2)/3-(χ+1)/12=[4*(χ-2)-(χ+1)/12=(4χ-8-χ-1)/12=(3χ-9)/12=3*(χ-3)/12=(χ-3)/4 αυγά. Στον τέταρτο πούλησε: (1/5)*(χ-3)/4+1/5=(χ-3)/20+1/5=(χ-3+4)/20=(χ+1)/20 αυγά κι’ έμειναν υπόλοιπο: (χ-3)/4-(χ+1)/20=[5*(χ-3)-(χ+1)]/20=(5χ-15-χ-1)/20=(4χ-16)/20=4*(χ-4)/20=(χ-4)/5 αυγά. Επειδή, βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος, μετά τη πώληση των αυγών της έμειναν ένας αριθμός αυγών, τα οποία μοίρασε εξίσου σε 13 συγγενείς, έχουμε την εξίσωση: (χ-4)/5=13κ --> χ-4=5*13κ --> χ-4=65κ --> χ=65κ+4 (1), (κ ακέραιος μεγαλύτερος ή ισος του 1, που αντιπροσωπεύει τον αριθμό των αυγών που πήρε κάθε συγγενής. Διερεύνηση με Διαρετότητα:. Από την πρώτη πώληση προκύπτει ότι πουλήθηκαν αρχικά: (χ+1)/2=(65κ+4+1)/2=(65κ+5)/2=5(13κ+1)/2, άρα το (13κ+1) είναι άρτιος αριθμός (αρκεί να θυμηθούμε ότι δεν έσπασε κανένα αυγό) οπότε κ είναι σίγουρα περιττός αριθμός. (πιθανοί υποψήφιοι 1,3,5,7,9,11,… αναζητούμε τον μικρότερο) Περισσεύουν:(65κ+4)- (65κ+5)/2=[2*(65κ+4)-(65κ+5)]/2=(130κ+8-65κ-5)/2= (65κ+3)/2 Από την δεύτερη πώληση προκύπτει ότι πουλήθηκαν: (1/3)(65κ+3)/2+1/3=(65κ+3)/6+1/3=(65κ+3+2)/6=(65κ+5)/6=5*(13κ+1)/6, αρκεί να διαιρείται το (13κ+1) με το 6 έχουμε καταλήξει προηγούμενα ότι το (13κ+1) διαιρείται με το 2, άρα αρκεί να διαιρείται και με το 3 το (13κ+1), οπότε απορρίπτουμε για κ τους 1 ,3,7 ,9. Περισσεύουν:(65κ+3)/2-(65κ+5)/6=[3*(65κ+3)-(65κ+5)]/6=(195κ+9-65κ-5)/6= (130κ+4)/6=2(65κ+2)/6=(65κ+2)/3 Από την τρίτη πώληση προκύπτει ότι πουλήθηκαν: (1/4)*(65κ+2)/3+1/4= (65κ+2)/12+1/4=(65κ+2+3)/12=(65κ+5)/12=5(13κ+1)/ 12 Ο (13κ+1) πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 12, κάτι το οποίο δεν ισχύει για κ=5, οπότε απορρίπτεται και ο 5. Περισσεύουν: (65κ+2)/3-(65κ+5)/12=[4*(65κ+2)-(65κ+5)]/12=(260κ+8-65κ-5)/12= (195κ+3)/12=3*(65κ+1)/12=(65κ+1)/4 Από την τέταρτη πώληση προκύπτει ότι πουλήθηκαν: (1/5)(65κ+1)/4+1/5=(65κ+1)/20+1/5=(65κ+1+4)/20=(65κ+5)/20 Περισσεύουν: (65κ+1)/4-(65κ+5)/20=[5*(65κ+1)-(65κ+5)]/20=(325κ+5-65κ-5)/20= 260κ/20=13κ Από τ’ ανωτέρω διαπιστώνουμε ότι ο «κ» ισούται με 11, η οποία είναι η μικρότερη τιμή που ικανοποίει όλες τις συνθήκες. Αντικαθιστούμε τη τιμή του κ=11 στην (1) κι’ έχουμε: χ=[(65*κ)+4] --> χ=[(65*11)+4] --> χ=715+4 --> χ=719 αυγά. Επαλήθευση: 1)Πρώτη Πώληση:(χ+1)/2=(719+1)/2=720/2=360 αυγά. 2)Δεύτερη Πώληση:(χ+1)/6=(719+1)/6=720/6=120 αυγά. 3)Τρίτη Πώληση:(χ+1)/12=(719+1)/12=720/12=60 αυγά. 4)Τέταρτη Πώληση:(χ+1)/20=(719+1)/20=720/20=36 αυγά. Συνολικά πούλησε:360+120+60+36=576 αυγά. Της έμειναν απούλητα:719-576=143 αυγά. Τα 143 αυγά, βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος τα μοίρασε εξίσου στους 13 συγγενείς, οι οποίοι πήραν από:143:13=11 αυγά (13*κ=13*11=143) ο κάθε συγγενής.