Ο Γρίφος των Χαμένων Φύλλων

Ο Κώστας, μανιώδης συλλέκτης παλαιών βιβλίων, αγόρασε από ένα παλαιοπωλείο βιβλίων στο Μοναστηράκι ένα σπάνιο βιβλίο. Όταν επέστρεψε στο σπίτι του άρχισε να το διαβάζει. Κάποια στιγμή όμως διαπίστωσε πως έλειπαν από το βιβλίο κάποια φύλλα… Οι αριθμοί των σελίδων από τα φύλλα που έλειπαν ήταν συνεχόμενοι και το άθροισμα των αριθμών των σελίδων ήταν ισον με τον αριθμό 4.352. Οργισμένος που δεν το έλεγξε όταν το αγόρασε, και με βάση την προσφιλή του συνήθεια προσπέρασε τις σελίδες που έλειπαν και συνέχισε απλά την ανάγνωση… έχοντας χάσει βέβαια ένα αρκετά μεγάλο κομμάτι της υπόθεσης… Μπορείτε να βρείτε πόσα φύλλα και ποιοι αριθμοί σελίδων έλειπαν;  (Κατ.3/Νο.29)

Λύση

Έλειπαν 17φύλλα, από τη σελίδα 248 έως τη σελίδα 264. Το άθροισμα των αριθμών των σελίδων των «ν» χαμένων φύλλων, που ξεκινάνε από το «α» είναι: Σο=α+(α+1)+(α+2)+(α+3)…. +(α+ν-1) Στον τύπο της αριθμητικής προόδου Σο=[(α+τ)*ν]/2 αντικαθιστούμε τη τιμή του «τ» με τον τύπο τ= α+(ν-1)*ω της εύρεσης του τελευταίου όρου της αριθμητικάς προόδου, κι’ έχουμε: Σο=[(α+τ)*ν]/2 --> Σο=[α+[α(ν-1)*]ν]/2 --> Σο=[[2α+(ν-1)]*ν]/2 Σο=Συνολικό Άθροισμα. α=Ο πρώτος Όρος. τ=Ο τελευταίος Όρος ν=Το Πλήθος των Όρων. ω=Ο λόγος. Ο σταθερός αριθμός, ο οποίος προστίθεται εις έναν όρο δια να δώσει τον επόμενο όρο. Σύμφωνα με τα δεδομένα της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: Σο=[[2α+(ν-1)]*ν]/2 --> 4.352=[[2α+(ν-1)]*ν]/2 (1) Αναλύουμε τον αριθμό 4.352 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, κι’ έχουμε: 4.352=(2^8)*17 Άρα από τη σχέση (1) έχουμε: 4.352=[[2α+(ν-1)]*ν]/2 --> (2^8)*17=[2α+(ν-1)]*ν]/2 --> (2^8)*2*17=[2α+(ν-1)]*ν --> (2^9)*17=[2α+(ν-1)]*ν (1) Στο πρώτο μέλος: Το 17 δηλώνει τα φύλλα που λείπουν και το (2^9) το άθροισμα των αριθμών των σελίδων από τα φύλλα που λείπουν. Στο δεύτερο μέλος: Εάν «ν» ζυγός τότε (2α+ν-1) περιττός Ενώ εάν «ν» περιττός τότε (2α+ν-1) ζυγός και μάλιστα ν μικρότερο του (2α+ν-1) Άρα από την παραπάνω σχέση έχουμε: Για ν=1 --> 2α+ν-1 = 2^9*17 (απορρίπτεται γιατί λείπει πάνω από μία σελίδα, άρα ν μεγαλύτερο του 1) Για ν=17 --> 2α+ν-1=29 --> 2α+17-1=512 --> 2α+16=512 --> 2α=512-16 --> 2α=496 --> α=496/2 --> α=248 Επαλήθευση: 2α+ν-1=29 --> [(2*248)+17-1]=2^9 --> 496+16=512 Λύση του Ε. Αλεξίου. [n(1+n) - k(1+k)]/2 = 4.352, n μεγαλύτερο του 0 => n=264 kai k=247. Άρα έλειπαν οι σελίδες 248 έως και 264, 17 σελίδες ή αλλιώς 4352=2^8(=256)*17, άρα 17 σελίδες με μέση σελίδα, 9η από τις 17 την 256, άρα 246 έως και 264 Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Ενδιαφέρον θέμα ,αλλά ο αριθμός 4352 το καθιστά προβληματικό ή μάλλον...αδύνατο να συμβεί. Εξηγούμαι: Έστω πως λοίπουν οι διαδοχικές σελίδες από την μ έως και τη ν. μ0. Δεν χρειάζεται να θυμάται κάποιος απέξω τον τύπο τέτοιου αθροίσματος αριθμητικής προόδου, διότι η απλή σκέψη πως έχουμε (ν-μ+1) όρους στην ακολουθία, άρα το άθροισμά τους είναι αυτός ο αριθμός επί τον μέσο (αριθμητικό) όρο που προφανώς είναι (ν+μ)/2 ,αρκεί (και εξηγεί και τον "ετοιματζίδικο" τύπο) Ισχύει λοιπόν: (ν - μ + 1)(ν + μ)/2=4352 Αυτή είναι μια περίπλοκη σχετικά διοφαντική εξίσωση υπερβολής ,και τελικά η μόνη συμβατή ακέραια λύση είναι η: μ=248 και ν=264 Όντως Σ(248 ώς 264)ν=4.352 Ο.κ. Το ζήτημα όμως είναι πως αυτές είναι 17 σελίδες (από την 248 ώς και την 264) και προφανώς είναι άτοπο να έχουμε μονό αριθμό σελίδων,αφού σκίζονται φύλλα. Αν δινόταν στην εκφώνηση ενα περιττό άθροισμα θα ήμαστε Ο.κ. (ασχέτως αν το κάθε φύλλο ξεκινούσε από περιττό αριθμό ή από άρτιο. Π.χ το πρώτο φύλλο να ήταν 1-2,3-4,κ.λ.π. ή 0-1,2-3, κ.λ.π.) Αν π.χ είχαμε τον αριθμό 4.617 θα έλειπαν οι 18 σελίδες (9 φύλλα) από 248 έως και 265 και θα ήμασταν ο.κ.