Η Ψηφοφορία

Όσοι ψηφίζουν "Υπέρ", να σηκώσουν το χέρι τους, είπε ο πρόεδρος του δεκαπεντα-μελούς συμβουλίου ενός σχολείου. Μετά την καταμέτρηση, βρέθηκε ότι "Υπέρ" της πρότασης είχε ψηφίσει μια πλειοψηφία 8 μαθητών. Αποκαλύφθηκε όμως, ότι μερικοί μαθητές είχαν σηκώσει και τα δύο χέρια τους. Οι μαθητές αυτοί ήταν το 8% , εκείνων που ψήφισαν "Υπέρ". Έγινε λοιπόν νέα ψηφοφορία που έφερε το αντίθετο αποτέλεσμα. Δηλαδή, τα "Κατά", ήταν περισσότερα των "Υπέρ" κατά 4 . Πόσοι ήταν οι παρευρισκόμενοι μαθητές; (Κατ.34/Νο.706)

Λύση

Οι παραβρισκόμενοι μαθητές ήσαν 280. Έστω ότι οι μαθητές ήταν «α». Κατά την δεύτερη ψηφοφορία, όπου ήταν και η σωστή, αυτοί που ψήφισαν «Κατά» ήταν 4 περισσότεροι από αυτούς που ψήφισαν «Υπέρ». Συνεπώς «Κατά» ψήφισαν [(α/2)+2] μαθητές και «Υπέρ» ψήφισαν [(α/2-2)] μαθητές. Στην πρώτη ψηφοφορία, εκείνοι που ψήφισαν «Κατά» ήταν όσοι και στην δεύτερη ψηφοφορία, δηλαδή [(α/2)+2]. Οι ψήφοι όμως που βρέθηκαν «Υπέρ», ήσαν όσοι στην δεύτερη φορά , συν τόσοι παραπάνω, όσοι ήσαν και αυτοί που σήκωσαν και τα δύο χέρια. Αν λοιπόν ονομάσουμε «χ» τους μαθητές που διπλοψήφισαν , τότε τα «Υπέρ» την πρώτη φορά ήταν[(α/2)-2+χ]. Με βάση όμως των δεδομένων του προβλήματος, έχουμε: χ=(8/100)*[(α/2)-2+χ] --> 100χ=8*(α-2*2+2χ)/2 --> 100χ=4*(α-4+2χ) --> 100χ=4α-16+8χ --> 100χ-8χ= 4α-16 --> 92χ= 4α-16 (1) Αλλά κατά την πρώτη ψηφοφορία, οι ψήφοι που ήσαν «Υπέρ» βρέθηκαν να είναι περισσότεροι από αυτούς που ήσαν «Κατά». Συνεπώς έχουμε την εξίσωση: [(α/2)-2+χ]=[(α/2)+2+8 --> [(α-(2*2)+2χ)]/2=[(α+(2*2)+2*8]/2 --> (α-4+2χ)/2=(α+4+16)/2 --> 2*(α-4+2χ)=2*(α+20) --> 2α-8+4χ=2α+40 --> 2α-2α+4χ=40+8 --> 4χ=48 --> χ=48/4 --> χ=12 (2) Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) κι’ έχουμε: 92χ= 4α-16 --> 92*12=4α-16 --> 1.104=4α-16 --> 4α=1.104+16 --> 4α=1.120 --> α=1.120/4 --> α=280 (3) Λύση του Γ. Ριζόπουλου. log(sqrt(8)*8)/log(sqrt(sqrt(8)))*log(sqrt(4)*4)/log(sqrt(sqrt(4)))*8 -8 = 6*6*8-8=280