Τα Ψώνια

Ο Κώστας πάει σ’ ένα επώνυμο πολυκατάστημα και ξοδεύει τα μισά χρήματα απ’ όσα είχε στο πορτοφόλι του, για αγορά ρούχων. Τελικά διαπιστώνει ότι έχει πλέον τόσα λεπτά, όσα ευρώ είχε αρχικά. Επίσης τα ευρώ που έχει τώρα είναι τα μισά από τα λεπτά που είχε αρχικά (π.χ. είχε 12,10 και έχει 5,12). Πόσα χρήματα είχε αρχικά πριν πάει στο πολυκατάστημα;(Κατ.34/Νο.710)

Πηγή:http://www.youreka.gr/?p=721

Λύση

Ο Κώστας αρχικά στο πορτοφόλι του, πριν πάει στο πολυκατάστημα είχε 99€ και 98 λεπτά. Έστω α € και β λεπτά τ' αρχικά χρήματα.Μετά από τις αγορές που έκανε του έμειναν β/2 € και α λεπτά. Εξ’ ορισμού έχουμε: α = 2 β/2 + 1 (1) β = 2α – 100 (2) Από την (1) συνάγουμε ότι: α = 2 β/2 + 1 --> α=β+1 (3) Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε: β = 2α – 100 --> β=[2*(β+1)-100) --> β=2β+2-100 --> 2β-β=100-2 --> β=98 (4) Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε: α=β+1 --> α=98+1 --> α=99 Ο Κώστας είχε αρχικά στο πορτοφόλι του, πριν πάει στο πολυκατάστημα 99.98€ και μετά τις αγορές του έμειναν 49,99€ (99,98/2=49,99€), δηλαδή τα μισά… Επαλήθευση: α = 2 β/2 + 1 --> 99=(2*98)/2+1 --> 99=98+1 β = 2α – 100 --> 98=[(2*99)-100] --> 98=198-100 Λύση του Ε. Αλεξίου. Αρχικά είχε X ευρώ και Υ λεπτά Τελικά του έμειναν Υ/2 ευρώ και Χ λεπτά οπότε : 100Χ +Υ= 100Υ +2Χ --> 100Χ-2Χ=100Υ-Υ --> 98Χ=99Υ Χ=99 Υ=98 → Είχε 99,98€ και έμειναν: 98/2€ +99Λ =49.99€ --> 99.98€/2=49.99€ Λύση του μαθηματικού Θ. Δρούγα. Έστω χ ευρώ και y λεπτά είχε αρχικά στο πορτοφόλι , y άρτιος μεγαλύτερος ή ίσος του μηδέν και μικρότερος του 100. Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις: • «x» άρτιος: Μετά την αγορά στο πορτοφόλι του έχει: χ/2 ευρώ και y/2 λεπτά. Από υπόθεση προκύπτουν οι εξισώσεις χ=y/2 και χ/2=y/2 δίνουν μηδενική λύση. Άρα απορρίπτονται. • «x» περιττός: Τότε μετά την αγορά του μένουν: ( χ-1)/2 ευρώ και y/2+50 λεπτά Εφοσον εχουμε περιττο αριθμο ευρω χ=2κ+1 ευρω και y λεπτα, για να μπορέσουμε να το διαιρέσουμε σε δυο ίσα ποσά το γράφουμε χ-1 =2κ ευρω και 100+y λεπτα (1 ευρω =100λεπτα) και μετα τον υποδιπλασιασμό προκύπτει (χ-1)/2 και 50+y/2 λεπτα Από υπόθεση προκύπτουν δυο εξισώσεις : x=(y/2+50) (1) y/2=(x-1)/2 (2) Από τη (2) συνάγουμε ότι: y/2=(x-1)/2 --> y=2*(x-1)/2 --> y=(x-1) (3) Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε: x=(y/2+50) --> x=[(x-1)/2+50] --> 2x=[x-1+(2*50)] --> 2x=x-1+100 --> 2x-x=100-1 --> x=99 (4) Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε: y=(x-1) --> y=99-1 --> y=98 (5) Άρα, αρχικά είχε 99€ και 98 λεπτά. Το ποσό που του έμεινε είναι 49€ και 99 λεπτά που πληρει τις προϋποθέσεις του προβλήματος. Επαλήθευση: x=(y/2+50) --> x=98/2+50 --> x=49+50 --> x=99 y/2=(x-1)/2 --> y=2*(x-1)/2 --> y=(x-1) --> y=99-1 --> y=98