Το Λάθος

Ο Κώστας πάει στην τράπεζα για να εξαργυρώσει μια επιταγή και η ταμίας μπερδεύεται και του δίνει αντί για ευρώ λεπτά και αντί για λεπτά ευρώ (π.χ. αντί για 5€ και 12 λεπτά, η ταμίας του έδωσε 12€ και 5 λεπτά). Ο Κώστας δεν αντελίφθηκε το λάθος που έγινε και έφυγε από την τράπεζα για να πάει σπίτι. Στο δρόμο του πέφτει από την τσέπη 5 λεπτά. Φτάνοντας στο σπίτι διαπιστώνει ότι τα λεφτά που έχει είναι τα διπλά από όσα γράφει η επιταγή. Μπορείτε να βρείτε το ποσό της επιταγής; 
Διευκρίνιση: 
Πριν ξεκινήσει ο Κώστς για τη τράπεζα δεν είχε καθόλου λεφτά πάνω του. 
(Κατ.34/Νο.709) 
Πηγή:http://www.youreka.gr/?p=721

Λύση

Το ποσό της επιταγής ήταν 31,63€. Έστω «χ» ευρώ και «ψ» λεπτά. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: Ο Κώστας έπρεπε να πάρει 100χ+ψ ευρώ, ενώ η ταμίας του έδωσε κατά λάθος 100ψ+χ ευρώ.Σύμφωνα με τα δεδομένα της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: 5+2*(100χ+ψ)=100ψ+χ (1) Από την (1) συνάγουμε ότι: 5+2*(100χ+ψ)=100ψ+χ --> 5+200χ+2ψ=100ψ+χ --> 200χ-χ=100ψ-2ψ-5 --> 199χ=98ψ-5 --> χ=(98ψ-5)/199 (2) Διερεύνηση: Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "ψ" τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "χ" είναι ο αριθμός 63 Αντικαθιστούμε τη τιμή του «ψ» στη (2) κι’ έχουμε: χ=(98ψ-5)/199 --> χ=[(98*63)-5]/199 --> χ= (6.174-5)/199 --> χ= 6.169/199 --> χ=31 (3) Επαλήθευση: Λανθασμένη εξαργύρωση επιταγής από τη ταμία: από 31,63€ σε 63,31€ Το πραγματικό ποσό της επιταγής: 31,63€ Διαφορά: 63,31€-31,63€=31,68€ (31,63€+5λεπτά) Έχασε στο δρόμο 5 λεπτά, οπότε του έμειναν: 63,31-5=63,26€ τα οποία αντιπροσωπεύουν το διπλάσιο ποσό από αυτό που έπρεπε να πάρει. (31,63€*2) Επαλήθευση: 5+2*(100χ+ψ)=100ψ+χ --> 5+2*[(100*31)+63]=[(100*63)+31] --> [5+2*(3.100+63)]=6.300+31 --> [5+(2*3.163)]=6.331 --> 5+6.326=6.331 λεπτά Μετατρέπουμε τα λεπτά σε Ευρώ κι’ έχουμε: 6.331/100=63,31€ Ο Κώστας από λάθος της ταμία εισέπραξε 63,31€, αντί του σωστού 31,63€. Διαφορετική Προσέγγυση: Εξ’ ορισμού έχουμε ότι ο Κώστας έπρεπε να πάρει από την επιταγή που εξαργύρωσε α € και β λεπτά, αλλά πήρε β € και α λεπτά. Χάνοντας ο Κώστας στο δρόμο 0,05 λεπτά του έμειναν β € και (α-5) λεπτά Η σχέση διπλάσιο στα λεφτά είναι στην ουσία δυο περιπτώσεις 1.α € και β λεπτά –> 2α € και 2β λεπτά π.χ. 1,30 –> 2,60€ 2. α € και β λεπτά –> (2α+1) € και (2β-100) λεπτά π.χ. 1,70 –> 3,40€ Αν δοκιμάσουμε την πρώτη περίπτωση φτάνουμε σε αδύνατο σύστημα, ενώ εάν δοκιμάσουμε τη δεύτερη περίπτωση, αφού μετατρέψουμε τα Ευρώ σε λεπτά, έχουμε: β = 2α + 1 (1) α-5 = 2β – 100 (2) Αντικαθιστούμε την (1) στη (2) κι’ έχουμε: α-5 = 2β – 100 --> α-5=2(2α+1)-100 --> α-5=4α+2-100 --> 4α-α=100-(5+2) --> 3α=100-7 --> 3α=93 --> α=93/3 --> α=31 (3) Αντικαθιστώ τη (3) στην (1) κι’ έχουμε: β = 2α + 1 --> β=[(2*31)+1] --> β=62+1 --> β=63 (4) Το ποσό της επιταγής ήταν 31,63€, η ταμίας κατά λάθος του έδωσε 63,31€ , έχασε 5 λεπτά στο δρόμο και του έμειναν 63,26€ (63,31-5=63,26€), που είναι το διπλάσιο των 31,63€ (31,63*2=63,26€). Επαλήθευση: β = 2α + 1 --> β=[(2*31)+1] --> β=62+1 --> β=63 α-5 = 2β – 100 --> 31-5=[(2*63)-100] --> 26=126-100 Λύση του Ε. Αλεξίου. Το 1 ευρώ αντιστοιχεί σε 100 λεπτά (αν τα λεπτά αρχικά ήταν α μεγαλύτερο του 50 διπλασιαζόμενα γίνονται 2α μεγαλύτερο του 100, άρα 1 ευρώ +(2α-100) λεπτά Ας πούμε ότι έπρεπε να πάρει k ευρώ και μ λεπτά και πήρε m ευρώ και k λεπτά, οπότε: m=2k+1 (1 που προέρχεται από τα 100 λεπτά) k-5=2m-100 και η επίλυση δίνει k=31 kai m=63, έπρεπε να πάρει 31 ευρώ και 63 λεπτά και πήρε 63 ευρώ και 31 λεπτά και χάνοντας τα 5 λεπτά μένει με 63 ευρώ και 26 λεπτά που είναι το διπλάσιο, 2*31ε +2*63λ=62ε+126λ=63ε+26λ Λύση του Γ. Ριζόπουλου. 2(100x + y) = 100y + x - 5 200x + 2y = 100y + x - 5 98y = 199x + 5 y = (199x + 5)/98 = 2x + (3x + 5)/98 (3x+5)/98=ακέραιος... y = 63 και x = 31 Επιταγή: 31,63. Πήρε: 63,31 63,31-0,05=63,26=2*31,63.