Τουρνουά Σκακιού

Ο Κώστας και η Άννα συμμετέχουν σε ένα σκακιστικό τουρνουά. Πρόκειται για ένα «κλασικό» τουρνουά, όπου κάθε ζευγάρι παίζει μια φορά. Δυστυχώς όμως ο Κώστας και η Άννα αρρώστησαν και αναγκάζονται να αποχωρήσουν από  το τουρνουά. Όταν αποχώρησαν είχαν παίξει και οι δύο τον ίδιο αριθμό αγώνων. Οι υπόλοιποι συνέχισαν μέχρι τη λήξη του τουρνουά. Παίχθηκαν συνολικά 23 παρτίδες. Ο Κώστας και η Άννα βρέθηκαν αντιμέτωποι σε κάποιον αγώνα; (Κατ.32/Νο.41)

Πηγή:http://www.youreka.gr/?p=736

Λύση

Το σύνολο των παρτίδων χωρίς αποχωρήσεις είναι Σο=n(n-1)/2 (ο καθένας με όλους τους άλλους δια δύο, γιατί έτσι μετράμε κάθε παιχνίδι δυο φορές). Εάν, εκτός από την Άννα και το Κώστα ήταν κι άλλοι 8, αυτοί θα έπαιζαν μεταξύ τους (χωρίς την Άννα και τον Κώστα) 28 ( 8*7 /2 ) παρτίδες, αδύνατο! Εάν πάλι, εκτός από την Άννα και το Κώστα ήταν κι άλλοι 5, θα έπαιζαν το πολύ (ακόμα κι αν δεν αποχωρούσαν η Άννα και ο Κώστα) 21 παρτίδες ( 7*6 / 2 ), αδύνατο! Άρα έχουμε δυο περιπτώσεις… Σύνολο 8 άτομα, οι 6 παίζουν μεταξύ τους 15 παρτίδες και από 4παρτίδες ο καθ’ ένας η Άννα και ο Κώστας, σύνολο 23 παρτίδες. Σύνολο 9 άτομα, οι 7 παίζουν μεταξύ τους 21 παρτίδες και από 1 παρτίδα ο καθ’ ένας η Άννα και ο Κώστας, σύνολο 23 παρτίδες. Και στις δυο περιπτώσεις ο Κώστας και η Άννα δεν μπορεί να συναντήθηκαν, γιατί τότε οι 8 παρτίδες που θα είχαν παίξει (από 4 παρτίδες ο καθ’ ένας) δεν θα μετρούσαν συνολικά για 8 αλλά για 7 (από τρεις ο καθένας και μία η κοινή), άρα σύνολο παρτίδων 15 + 7 = 22 και όχι 23 που θέλουμε. Επομένως o Κώστας και η Άννα δεν βρέθηκαν αντιμέτωποι! Λύση του Ε. Αλεξίου. Εάν Χ οι άλλοι παίχτες πλην Κώστα και Άννας τότε ισχύει για τις παρτίδες μεταξύ των Χ παιχτών Χ*(Χ-1)/2 μικρότερο του 23 → X μικρότερο ή ίσο με 7. Έστω: *7 οι άλλοι και οι παρτίδες που έπαιξαν μεταξύ τους 7*6/2=21 Κώστας και Άννα το πολύ απο μία, αν έπαιξαν μεταξύ τους μετράει μία +21= 22 άτοπο, άρα δεν έπαιξαν μεταξύ τους και οι παρτίδες 21+2=23, δεκτό. *6 οι άλλοι παίχτες, άρα παρτίδες μεταξύ τους 6*5/2 =15, άρα Κώστα ς και Άννα 8 από 4 παρίδες, αν είχαν παίξει μεταξύ τους θα μετρύσαν 7 παρτίδες 15+7=22, άτοπο. Άρα και σε αυτή την περίπτωση δεν έπαιξαν μεταξύ τους. 5 οι άλλοι παίχτες, και οι παρτίδες μεταξύ τους 5*4/2=10 και οι παρτίδες Κώστα και Άννας 23-10=13, άτοπο, αδύνατον να συμβεί Άρα τελικά και συμπερασματικά ο Κώστας και η Άννα δεν έπαιξαν μεταξύ τους. Λύση του Γ. Ριζόπουλου. O αριθμός των παρτίδων σε ένα απλό (ενός γύρου)round robin τουρνουά για ν παίκτες είναι όπως ο αριθμός των χειραψιών μεταξύ τους: v(v-1)/2 Aν ο Κώστας και η Άννα έπαιξαν αντίπαλοι πριν αποχωρήσουν έχουν συνεισφέρει στο σύνολο περιττό αριθμό παρτίδων (1 η μεταξύ τους + 2*κ με κ άλλους αντιπάλους έκαστος). Αρα οι παρτίδες των υπολοίπων μεταξύ τους είναι άρτιος αριθμός. Αν οι υπόλοιποι είναι 7 ,έπαιξαν συνολικά 6*7/2=21 παρτίδες. Άτοπο. Για λιγότερους παίκτες επίσης άτοπο. Άρα δεν έπαιξαν μεταξύ τους ο Κώστας και η Άννα.