Βελάκια

Η Άννα και η Μαρία παίζουν ένα παιχνίδι με βελάκια. Κάθε μία ρίχνει ένα βελάκι σε ένα στόχο (Νταρτς-Darts). Όποια ρίχνει το βελάκι πιο κοντά στο στόχο παίρνει ένα πόντο. Όποια φτάσει πρώτη τους 4 πόντους κερδίζει 10€. Η Άννα και η Μαρία είναι το ίδιο καλές στα βελάκια. Σταμάτησαν να παίζουν όταν η Άννα προηγείτο της Μαρίας 3-2 στους πόντους. Ποιος είναι ο δίκαιος τρόπος για να μοιραστούν τα 10€ αυτού του ημιτελούς παιχνιδιού; (Κατ.33/Νο.35)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/12/pascal-fermat-problem-of-points.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Υποθέτουμε,μιας και αναφέρεται πως είναι "το ίδιο καλές", κάτι σημαντικό.Πως η πιθανότητα νίκης σε κάθε παιχνίδι είναι0,5 για την κάθε παίκτρια. Η Άννα με άλλο ένα νικηφόρο παιχνίδι κερδίζει όλο το στοίχημα. Η Μαρία για να φτάσει σ'αυτό το σημείο θέλει άλλο ένα παιχνίδι. Αρα το στοίχημα πρέπει να μοιραστεί 3 προς 1. (αφού αν σταματήσουν τα μισά ανήκουν διακαιωματικά στην Αννα, και τα άλλα μισά πρέπει να μοιραστούν εξίσου) Αννα: 7,50€ Mαρία: 2,50€ Εναλλακτικός τρόπος,αλά μανιέρ ντε Πασκάλ: Σ(k=0 ώς 1)C(2,k)/Σ(k=2ώς 2)C(2,k)=3 Γενικά,σε ένα παιχνίδι όπου ο Α χρειάζεται ακόμη ν πόντους για να κερδίσει και ο Β μ πόντους, το σωστό μοίρασμα είναι ο λόγος : Σ(από κ=0 έως μ-1) C(ν+μ-1 ,κ) / Σ(κ=μ έως ν+μ-1)C(ν+μ-1, κ). Λύση του Ε. Αλεξίου. Το παιχνίδι θα έληγε σε 2 ακόμα πόντους (1+2-1=2), αν η Μαρία έπαιρνε τον 3ο πόντο, όποια έπαιρνε τον 4ο θα κέρδιζε τα 10 ευρώ. Τα δυνατά απότελέσματα είναι 2^2=4 Η Άννα θα κέρδιζε είτε με ένα είτε με 2 πόντους,άρα σε C(2,1) +C(2,2)=2+1=3 περιπτώσεις που βγαίνει νικήτρια και η Μαρία φυσικά στην υπόλοιπη μία περίπτωση ή με συνδυασμούς μόνο αν η Άννα δεν κέριζε κανένα πόντο από τους 2, ήτοι C(2,0)=1. Άρα P(κερδίζει η Άννα)=3/4 και P(κερδίζει η Μαρία)=1/4. Άρα η Άννα πρέπει να πάρει 7,50€ και η Μαρία πρέπει να πάρει 2,50€.