Οι Πωλήσεις

Την χρονιά που μας πέρασε (2013) ένα βιβλιοπωλείο πούλησε συνολικά 600 βιβλία Μαθηματικών. Το βιβλιοπωλείο ήταν ανοικτό και τις 7 μέρες κάθε εβδομάδας και πουλούσε τουλάχιστον ένα βιβλίο Μαθηματικών τη μέρα. Είναι αλήθεια ότι υπήρξε μια περίοδος από διαδοχικές ημέρες όπου πουλήθηκαν ακριβώς 129 βιβλία; (Κατ.34/Νο.702)

Πηγή:http://diadiktyomathphys.wordpress.com/

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Ωραίο αριθμοθεωρητικό πρόβλημα! Φωνάζει μεν πως είναι εφαρμογή της αρχής του Ντίριχλετ (Περιστερώνας), αλλά η τεχνική απόδειξη δεν είναι τόσο απλή υπόθεση. Ας ονομάσουμε π(ν) τις αθροιστικές/ανακεφαλαιωτικές πωλήσεις βιβλίων στη νιοστή μέρα. Έχουμε προφανώς: π(ν-1) < π(ν) , π(365)=600 ,και ν μεταξύ 1 και 365.Ισχύει: 1 ≤ π(1) < π(2) < π(3) <…< π(365) (1) Προσθέτοντας 129 στις ανισότητες της (1),έχουμε: 130 ≤ π(1)+129 < π(2)+129 < … < π(365)+129 = 729 (2) Οι ακέραιοι: π(1), π(2),…π(365) είναι 365 διακριτοί (διαφορετικοί μεταξύ τους) ακέραιοι. Ομοίως και οι : π(1)+129, π(2)+129,…,π(365)+129. Άρα τα στοιχεία του συνολου Α={π(1),π(2)…,π(365), π(1)+129,…,π(365)+129} που έχει Card(A)=2*365=730 (δηλαδή έχει 730 στοιχεία) παίρνουν τιμές από 1 ως και το 729. Από Περιστερώνα, έπεται πως 2 στοιχεία πρέπει να είναι ίσα. Τα π(ν) (ν=1,2,…,365) όμως,όπως προείπα, είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους, όπως είναι διαφορετικά μεταξύ τους και τα π(ν)+129 (ν=1,2,…,365), οπότε υποχρεωτικά κάποιο από τα π(ν) ισούται με κάποιο από τα π(ν)+129. Έστω λοιπόν πως: π(i)=π(m)+129 ,με 1 ≤ m < i ≤365 Eπομένως, στο χρονικό διάστημα μεταξύ της (m+1)μέρας και της i-στής (συμπεριλαμβανομένης της μέρας i ) πουλήθηκαν ακριβώς 129 βιβλία. (αφού π(i) –π(m)=129 ). Quod Erat Demonstrandum. YΓ. Προφανώς , με τον ίδιο τρόπο ,μπορούμε να δείξουμε πως οποιοσδήποτε αριθμός βιβλίων μεταξύ 1 και 600 πουλήθηκαν σε κάποιο συνεχόμενο χρονικό διάστημα ημερών από 1 έως 365.