Το Ψηφίο

Σε μια σειρά γράφουμε τους αριθμούς 01234567891011121314151617 . . . Ποιο ψηφίο βρίσκεται στη 2.013^η θέση;(Κατ.27/Νο.383)

Πηγή:Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία - Επαρχιακός Μαθηματικός Διαγωνισμός (Νοέμβριος 2013)

Λύση

Στην 2.013η θέση βρίσκεται το ψηφίο «0». Από το 0 ως το 9 έχουμε 10 αριθμούς και 10 ψηφία. Από το 10 ως το 99 έχουμε 90 αριθμούς και 90*2 = 180 ψηφία. Από το 100 έως το 700 έχουμε 601 αριθμούς δηλαδή 601*3 = 1.803 ψηφία Άρα 10 + 180 + 1.803 =1.993 ψηφία. Χρειαζόμαστε 2.013 – 1.993 = 20 ψηφία Οι επόμενοι αριθμοί στη σειρά είναι οι 701,702,703,704,705,706,707,708 . . . Άρα το 20ο ψηφίο στη σειρά είναι το 0. Λύση του Γ. Ριζόπουλου. 0123456789--->10 ψηφία 101112...9899100 --->180 ψηφία. (διότι από 10 ώς 19=18 ψηφία Χ 10 φορές (10...20..30..) =18*10=180 ) 2013 -(180+10)= 1823 ψηφία ακόμη μέχρι τη 2013η θέση. Αρχής γενομένης από 100 101 102... 1823/3=607*3 +2 (1823=2mod3) H τριάδα υπ'αρίθμ 608 είναι η 707 (αφού η 600η είναι η 699) Άρα το μεσαίο ψηφίο το 0 είναι το 2013ο εξ αρχής.