Η Ηλικία

Χθες η κ. Ευτέρπη είχε τα γενέθλια της. Ο αριθμός που δίνει την ηλικία που συμπλήρωσε αν διαιρεθεί με το 2 αφήνει υπόλοιπο 1, αν διαιρεθεί με το 3 αφήνει υπόλοιπο 2, ενώ αν διαιρεθεί με το 5 αφήνει υπόλοιπο 4. Ο κ. Πέτρος, που δε γνωρίζει την κ. Ευτέρπη, με αυτά τα δεδομένα βρήκε τρεις πιθανές ηλικίες, ενώ με την πληροφορία ότι η διαίρεση αυτού του αριθμού με το 7 δίνει υπόλοιπο 1 κατέληξε στη σωστή ηλικία. Πόσα κεράκια είχε η τούρτα της κ. Ευτέρπης; (Κατ.5/Νο.83)

Πηγή:http://mathmosxos2.blogspot.gr/2011/01/blog-post_8190.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Έστω «x» ο αριθμός που διαιρούμενος με το 2 δίνει υπόλοιπο 1, με το 3 δίνει υπόλοιπο 2, με το 5 δίνει υπόλοιπο 4, άρα x=κ*2*3*5-1, κ=1,2,3,... άρα x=κ*30-1=29,59,89,119,... Από τους παραπάνω αριθμούς ο 29=1mod7 και ο επόμενος 1mod7 είναι ο 449-210=239 (από κινέζικα υπόλοιπα). Συνεπώς 29 τα κεράκια της κ.Ευτέρπης (να είναι 239 χρονών, μάλλον αδύνατον!) Βέβαια θα μπορούσε να είναι, λόγω σκληρής λιτότητας, 2 τα κεράκια με τους αριθμούς 2 και 9, ήτοι 29. Έτσι ή αλλιώς έκλεισε τα 29 της χρόνια. Αρκετά καλό πρόβλημα και αρκούντως παραπειστικό, λόγω της εικονιζόμενης γιαγιάς! Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Για x=1mod2, x=2mod3, x=4mod5, έχουμε τη γενική λύση: x=30ν+29 Όπου ν=0, 1, 2, 3, .., n, φυσικός ακέραιος αριθμός. Πιθανές λύσεις (όντως τρεις): Για ν=0 --> x=30*0+29 --> x=0+29 --> x=29, Για ν=1 --> x=30*1+29 --> x=30+29 --> x=59, Για ν=2 --> x=30*2+29 --> x=60+29 --> x=89. H ηλικία 119 θα ήταν όντως εντυπωσιακή για γενέθλια!! Με την προσθήκη της 4ης μόντουλαρ εξίσωσης x=1mod7 η γενική λύση γίνεται: Για ν=7 --> x=30*7 +29 --> x=210+29 --> x=239. Άρα 29 τα κεράκια. Λύση του Papaveri. Η τούρτα της κυρίας Ευτέρπης είχε 29 κεράκια. Έστω Ν-1=n αριθμός της ηλικίας της κυρίας Ευτέρπης, η οποία πρέπει να είναι κατά μία μονάδα μικρότερη από έναν αριθμό που έχει κοινούς διαιρέτες τους αριθμούς 2,3, και 5. Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι: Ε.Κ.Π.(2,3,5)= 2*3*5 = 30 Άρα ο ζητούμενος αριθμός πρέπει να είναι πολλαπλάσιος του 30 και να διαιρείται από τους αριθμούς 2, 3, και 5. Αν πάρουμε τα πολλαπλάσια του 30 με τη σειρά θα έχουμε: 30,60,90 120, 150, 180,...,n. Εάν αφαιρέσουμε από τους ανωτέρω αριθμούς το υπόλοιπο της διαιρέσεως με το 7, που είναι η μονάδα, θα έχουμε 29,59,89,119, 149, 189,...,(n-1) θα δούμε ότι ο μόνος αριθμός που πληρεί τη συνθήκη, δηλαδή να διαιρείται με το 7 και ν’ αφήνει υπόλοιπο τη μονάδα είναι ο αριθμός 29. Άρα η κυρία Ευτέρπη έκλεισε τα 29 χρόνια. Επαλήθευση: 29mod2=υπόλοιπο 1, 59mod3=υπόλοιπο 2, 89mod5=υπόλοιπο 4, 29mod7=υπόλοιπο 1. Γενικά: Εάν ένας ακέραιος, έστω Z, αφήνει υπόλοιπο (Κ-1) όταν διαιρείται με έναν αριθμό Κ, τότε ο (Ζ+1) διαιρείται ακριβώς με τον Κ.