Τα Ζευγάρια

Τρία αδέλφια, ο Γιάννης, ο Παύλος, και ο Σπύρος μαζί με τις γυναίκες τους, όχι απαραίτητα με αυτή τη σειρά, τη Μαρία, την Ισμήνη, και την Κατερίνα όταν πηγαίνουν στην αγορά, καθ' ένα από τα έξι αυτά πρόσωπα, αγοράζει έναν αριθμό αντικειμένων και για κάθε αντικείμενο πληρώνει τόσες δραχμές, όσος είναι ο αριθμός των αντικειμένων που αγόρασε. Κάθε σύζυγος ξοδεύει 63 δραχμές περισσότερο από τη γυναίκα του. Εάν ο Παύλος αγόρασε 23 αντικείμενα περισσότερα από τη Μαρία και ο Γιάννης 11 αντικείμενα  περισσότερα από την Ισμήνη, να καθοριστούν τα ζευγάρια. (Κατ.34/Νο.694) 

Πηγή:(Clande - Gaspard Bachet de Méziriac)

Πηγή:Εφαρμογές της Επίλυσης Προβλημάτων και της Διδασκαλίας ...
Λύση του Γ. Ριζόπουλου:
Ενδιαφέρον πρόβλημα. Αφού υπάρχει η αντιστοιχία 1δραχμη---1αντικείμενο ο καθένας για «x» αντικείμενα ξόδεψε «x^2» δραχμές. Αν ορίσουμε σε κάθε ζευγάρι ως «x» το σύζυγο και «y» την σύζυγο, ισχύει η διοφαντική εξίσωση:
x^2 - y^2=63 (1)
Όπου «x» τα αντικείμενα που αγόρασε ο άντρας και «y» αυτά που αγόρασε η γυναίκα. (x,y θετικοί ακέραιοι)
Η (1) γίνεται:
(x+y)(x-y)=63
To 63 παραγοντοποιείται ως: 3^2 *7 
Διαιρέτες: 3^{0,1,ή 2)*7^{0 ή 1}: 1,7,3,21,9,63.
Zεύγη παραγόντων:{1-63}, {3,21},{7-9} x-y (0.)
Yπάρχουν τρεις περιπτώσεις:
1) x-y=1 και χ+y=63
2) x-y=3 και x+y=21
3) x-y=7 και x+y=9
Λύσεις:
1) x=32 , y=31
2) x=12 , y=9
3) x=8 , y=1
Oι τρεις άντρες λοιπόν αγόρασαν 32, 18 και 8 αντικείμενα (σε κάποια αντιστοιχία) και ομοίως οι γυναίκες τους αγόρασαν (στην ίδια σειρά/αντιστοιχία) 31, 9 και 1 αντικείμενα. Εάν "ο Παύλος αγόρασε 23 αντικείμενα περισσότερα από τη Μαρία" :Π=Μ +23 και «ο Γιάννης 11 αντικείμενα περισσότερα από την Ισμήνη»: Γ=Ι+11. Άρα, και με βάση και τα προηγούμενα, η συμβατή λύση είναι:
Π=32 και Μ=9
Γ=12 και Ι=1
Άρα μένουν Σπύρος Σ=8 και Κατερίνα Κ=31
Αρα ανακεφαλαιωτικά έχουμε:
Παύλος (32) είναι παντρεμένος με Κατερίνα (31)
Ο Γιάννης (12) παντρεμένος με Μαρία (9)
Kαι ο Σπύρος (8) παντρεμένος με την Ισμήνη (1) 
Λύση του Papaveri:

Η αντιστοιχεία των ζευγαριών και των αντικειμένων που αγόρασαν φαίνεται από το ανωτέρω πίνακα.

Αφού υπάρχει η αντιστοιχία 1δραχμη ---1αντικείμενο ο καθένας για «x» αντικείμενα ξόδεψε «x^2»δραχμές. Εάν ορίσουμε σε κάθε ζευγάρι ως «x» το σύζυγο και «y» την σύζυγο, ισχύει η διοφαντική εξίσωση:

(x^2 - y^2)=63 (1), [η οποία αποτελεί το ανάπτυγμα (x+y)(x-y)=63]

Όπου «x» τα αντικείμενα που αγόρασε ο άντρας και όπου «y» τα αντκείμενα που αγόρασε η γυναίκα.  (x,y θετικοί και ακέραιοι αριθμοί).

Από την (1) συνάγουμε ότι:

(x^2 - y^2)=63 --> x^2=(63+y^2)

Υψώνουμε και τα δύο μέλη στην τετραγωνική ρίζα κι’ έχουμε:

x^2=(63+y^2) --> sqrt(x^2)=sqrt(63+y^2) --> x=sqrt(63+y^2) (2)

Διερεύνηση:

Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των

ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "y" τις τιμές από το «1» έως το «n», βλέπουμε με δοκιμές, ότι οι μοναδικές τιμές  που ικανοποιούν  τη συνθήκη και δίνουν ακέραιο αριθμό "x" είναι οι: y=1, y=9, και y=31. Τιμές του «y» μεγαλύτερες του 31 δίνουν «x» δεκαδικό αριθμό.

Αντικαθιστούμε τις τιμές του "y" στην (2) κι’ έχουμε τις αντίστοιχες τιμές «x»:

α)x=sqrt(63+y^2) --> x=sqrt(63+1^2) --> x=sqrt(63+1) --> x=sqrt(64) --> x=8

β) x=sqrt(63+y^2) --> x=sqrt(63+9^2) --> x=sqrt(63+81) --> x=sqrt(144) --> x=12

γ) x=sqrt(63+y^2) --> x=sqrt(63+31^2) --> x=sqrt(63+961) --> x=sqrt(1.024) --> x=32

Άρα έχουμε τις εξής λύσεις:

α)x=32 και y=31 --> x-y-32-31=1 και x+y=32+31=63

β)x=12 και y=9 --> x-y=12-9=3 και x+y=12+9=21

γ)x=8 και y=1 --> x-y=8-1=7 και x+y=8+1=9

Σύμφωνα με την εκφώνηση του προβλήματος εξ’ ορισμού έχουμε::

«...ο Παύλος αγόρασε 23 αντικείμενα περισσότερα από τη Μαρία και ο Γιάννης 11 αντικείμενα  περισσότερα από την Ισμήνη..»

Προκύπτουν τα εξής δύο ζευγάρια:

α)Π=Μ+23 --> Π=9+23=32. Άρα Παύλος 32 αντικείμενα και Μαρία 9 αντικείμενα.

β)Γ=Ι+11 --> Γ=1+11=12. Άρα Γιάννης 12 αντικείμενα και Ισμήνη 1 αντικείμενο.

Και το τρίτο ζευγάρι είναι:

γ)Κ=23+Σ --> Κ=23+8=31. Άρα Κατερίνα 31 αντικείμενα και Σπύρος 8 αντικείμενα.

Επομένως η Κατερίνα αγόρασε 23 αντικείμενα περισσότερα από το Σπύρο.

Επαλήθευση:

(x^2 - y^2)=63 --> (8^2-1^2)=63 --> 64-1=63

(x^2 - y^2)=63 --> (12^2-9^2)=63 --> 144-81=63

(x^2 - y^2)=63 --> (32^2-31^2)=63 --> 1.024-961=63