Το Χαρτζιλίκι

ΗΛΙΑΣ:Πατέρα, πόσα θα μας δώσεις για χαρτζιλίκι; 

ΠΑΤΕΡΑΣ:Αρκετά. Αν «x» είναι το χαρτζιλίκι του Κυριάκου και «y» το 
χαρτζιλίκι του Ηλία, από το τετράγωνο του ημιαθροίσματος, αφαιρέστε το 
τετράγωνο της ημιδιαφοράς, θα βρείτε 24. 

ΚΥΡΙΑΚΟΣ:Εγώ δικαιούμαι περισσότερα, είμαι μεγαλύτερος. 

ΗΛΙΑΣ:Δύο Ευρώ περισσότερα από μένα θα σου δώσει, Κυριάκο. Αν 
και εγώ τα δικαιούμαι, γιατί το βρήκα πρώτος. 

ΚΥΡΙΑΚΟΣ:Κι' εγώ το ίδιο βρήκα.

Πώς σκεφτήκανε τα παιδιά και φτάσανε σ’ αυτό το αποτέλεσμα; (Κατ.34/Νο.681)

Πηγη:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/07/blog-post_25.html

Λύση

Ο Κυριάκος θα πάρει 6€ και ο Ηλίας θα πάρει 4€. Έστω «x» το χαρτζιλίκι του Κυριάκου και «y» το χαρτζιλίκι του Ηλία. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: [((x+y)^2/2^2)-((x-y)^2/2^2)=24 --> [(x^2+2xy+y^2)/4-(x^2-2xy+y^2)/4]=24 --> (x^2+2xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2)=24*4 --> x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2=96 --> 4xy=96 --> xy=96/4 --> xy=24 --> x=24/y (1) Διερεύνηση: Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "y" τις τιμές από το 1 έως το n, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη, βάσει της δήλωσης του Ηλία :«...Δύο Ευρώ περισσότερα από μένα θα σου δώσει, Κυριάκο...» και δίνει ακέραιο αριθμό "x" είναι ο αριθμός y = 4. Αντικαθιστούμε τη τιμή «y» στην (1) κι’ έχουμε: x=24/y --> x=24/4 --> x=6 Επαλήθευση: [((x+y)^2/2^2)-((x-y)^2/2^2)=24--> [((6+4)^2/2^2)-((6-4)^2/2^2)]=24 --> [(10^2)/2^2]-[(2^2)/2^2]=24 -->(100/4)-(4/4)=24 --> 25-1=24