Η Παρέλαση

Οι μαθητές ενός σχολείου μπορούν να παραταχθούν σε σειρές των 3, 4 και 7 μαθητών χωρίς να περισσεύει κανένας. Αν όμως παραταχθούν σε σειρές των 11 μαθητων περισσευει ένας μαθητής . Πόσοι είναι οι μαθητές του σχολείου; (Κατ.5/Νο.79)

Λύση

Το σχολείο έχει 672 μαθητές. Θα πρέπει να ισχύει 3*4*7*m=11*n+1 , m,n θετικοί ακέραιοι 84m=11n+1 --> (84m-1)/11=n --> ( 88m-4m-1)/11=n --> 8m-(4m+1)/11= n Όμως «n» θετικός ακέραιος οπότε (4m+1)/11 ακέραιος άρα θα πρέπει (4m+1) πολλαπλάσιο του 11 με «m» θετικό ακέραιο. Δοκιμάζουμε το 11: 4m+1=11 --> m=(11-1)/4 --> m=10/4 δεν είναι ακέραιος απορρίπτεται. Δοκιμάζουμε το 22 : 4m+1=22 --> m=(22-1)/4 --> m=21/4 δεν είναι ακέραιος απορρίπτεται. Δοκιμάζουμε το 33 : 4m+1=33 --> m=(33-1)/4 --> m=32/4 --> m=8 είναι ακέραιος, αποδεκτό Άρα 3*4*7*m=11*n+1 --> 84*8=11*n+1 --> 672=11*n+1 --> n=(672-1)/11 --> n=61 Άρα: 3*4*7*m=11*n+1 --> 3*4*7*8=[(11*61)+1] --> 672=671+1 Επαλήθευση: 672:3=224, 672:4=168, 672:7=96, 672:11=61,090909090909090909090909090909 --> 672mod11=1