Οι Αριθμοί

Οι φυσικοί αριθμοί διατάσσονται, σε σχήμα πυραμίδας, με τον παρακάτω τρόπο.

  

Να βρείτε:
α) Η 30η σειρά με ποιον αριθμό ξεκινάει και με ποιον τελειώνει;
β) Από πόσους αριθμούς αποτελείται η 30η σειρά ;
γ) Ποια σειρά έχει 99 αριθμούς;
δ) Το 2011 σε ποια σειρά βρίσκεται;
Δικαιολογήστε τα συμπεράσματά σας! (Κατ.34 Νο.680)

Πηγή:http://lisari.blogspot.com/2011/11/blog-post.html
 

Λύση

Λύση του Vasia. α)Η 30η σειρα τελειωνει με τον αριθμο 900.Το βρισκουμε αν υψωσουμε το 30 στο τετραγωνο,μιας και οπως βλεπουμε επαναλαμβανεται το μοτιβο: 1η σειρα->1*1=1, 2η σ. 2*2=4, 3η σ. 3*3=9, 4η σ. 4*4=16....30*30=900. Επισης ξεκινα με τον αριθμο 842.Μπορουμε να το βρουμε αν σκεφτουμε οτι η 29η σειρα τελειωνει με τον 29*29=841 και προσθετοντας 841+1=842 βρισκουμε τον πρωτο αριθμο της επομενης σειρας, δηλ.της 30ης., β)Η 30η σειρα αποτελειται απο 59 αριθμους,που ευκολα προκυπτει απο την εξης αφαιρεση:(30*30)-(29*29)=59., γ)Η ζητουμενη σειρα θα ειναι μεγαλυτερη απο 30.Ξεκινώντας απο την 30η και βλεποντας οτι καθε φορα αυξανονται κατα 2 οι αριθμοι σε καθε σειρα,ισχυει: 59+2*χ=99 <=> 2*χ=40 <=> χ=20.Αρα η σειρα που ψαχνουμε ειναι η 30+20=50η., δ)Επειδη η 50η σειρα τελειωνει με τον αριθμο 50*50=2500, ο 2011 θα βρισκεται σε μικροτερη σειρα.Συγκεκριμενα στην 45η,αφου αυτη ξεκινα με 44*44+1=1937 και τελειωνει με 45*45=2026. Λύση του SW. α)Ο τελευταίο αριθμός κάθε σειράς είναι ο ν^2. Δήλαδή ο τελευταίος αριθμός της σειράς 30 είναι ο 900 και (αφού η σειρά 30 έχει 59 αριθμούς) ο πρώτος είναι ο αριθμός 842., β)Με τη σειρά που είναι τοποθετημένοι οι αριθμοί (κάθε σειρά έχει 2 αριθμούς περισσότερους από την προηγούμενη) έχουμε τον γενικό τύπο για το πλήθος των αριθμών σε κάθε σειρά που είναι Π=2ν-1 Π το πλήθος των αριθμών και ν ο αύξων αριθμός της σειράς. Έτσι για τη σειρά 30 θα έχουμε Π=(2*30)-1=59. Η 30η σειρά θα αποτελείται από 59 αριθμούς., γ) Σύμφωνα με το (β), 99 αριθμούς έχει η σειρά 50 αφού Π=2ν-1=>(Π+1)/2=50., δ) Το 2011 βρίσκεται στη σειρά 45 γιατί ρίζα 2011=44,84. Δηλαδή ολοκληρωμένες 44 και μέσα στην 45. Πράγματι, σύμφωνα με το (α) έχουμε 44^2=1936 (τελευταίος αριθμός στη σειρά 44) και 45^2=2025 (τελευταίος αριθμός στη σειρά 45). Λύση του Ανώνυμος. α)Ο τελευταίος αριθμός της γραμμής κ είναι ο κ². Αυτό οφείλεται στη γνωστή ιδιότητα των τετραγώνων: κ²=1+3+5+...+(2κ-1). Άρα η 30η σειρά ξεκινά με τον αριθμό 29²+1 και τελειώνει με τον αριθμό 30², με άλλα λόγια αρχίζει με τον 842 και τελειώνει με τον 900., β)Αποτελείται από (2*30-1)=59 αριθμούς, το οποίο επαληθεύεται και από τη σχέση 900-842+1., γ)Για να έχει η σειρά κ 99 αριθμούς θα πρέπει (2κ-1)=99 και άρα κ=50., δ)Η τετραγωνική ρίζα του 2011 είναι περίπου 44,84, άρα βρίσκεται μεταξύ του 44² και του 45², επομένως θα βρίσκεται στην 45η γραμμή. Λύση του Ε. Αλεξίου. A: Αρχίζει με 842 (=29^2+1) και τελειώνει σε 30^2=900., B: Αποτελείται από 2*30-1=59 αριθμούς., Γ: η 50η (2*50-1=99)., Δ: 2011^(1/2)=44.844..., άρα στην 45η.