Ο Κτηνοτρόφος

Ένας κτηνοτρόφος αγόρασε  με 100 χρυσά φιορίνια, (Φλωρεντίας-Ιταλίας) χοίρους, γίδες και πρόβατα, συνολικά 100. Οι χοίροι του κόστισαν 3 ½ χρυσά φιορίνια το κεφάλι, οι γίδες 1 και 1/3 χρυσά φιορίνια το κεφάλι και τα πρόβατα  0,50 χρυσό φιορίνι το κεφάλι. Πόσα ζώα αγόρασε από κάθε είδος. (Κατ.34/Νο.688)
Πηγή:Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2014/04/blog-post_23.html

Πηγή:   
Από το βιβλίο του Leonhard Euler «Εισαγωγή στην  τέχνη του υπολογισμού, για χρήση  στα γυμνάσια της αυτοκρατορικής Ακαδημίας  Επιστήμων της Αγίας Πετρούπολης» Νο.26 (εκδ. 1734 με 1735)

Λύση:

Έστω «x» οι χοίροι, «y» οι γίδες,  και «z» τα πρόβατα.  Βάσει των δεδομένων της

εκφωνήσεως του προβλήματος; έχουμε:

x+y+z = 100 ζώα (1)

(7/2)x+(4/3)y+(1/2)z = 100 (2)

Από τη (2) συνάγουμε ότι:

(7/2)x+(4/3)y+(1/2)z = 100 --> (3*7)x+(2*4)y+3z=6*100 -->

21x+8y+3z=600 (3)

Από την (1) συνάγουμε ότι:

 x+y+z = 100 --> x=100-y-z (4)

Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε:

21x+8y+3z=600 --> 21*(100-y-z)+8y+3z=600 -->

2.100-21y-21z+8y+3z=600 -->

2.100-13y-18z=600 --> 13y+18z=2.100-600 -->

13y+18z=1.500 -->

18z=1.500-13y --> z=(1.500-13y)/18 (5)

Διερεύνηση:

Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των

ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "y" τις τιμές από το 1 έως το N, βλέπουμε ότι οι

μοναδικές τιμές  που ικανοποιειούν  τη συνθήκη και δίνουν ακέραιο αριθμό "z" είναι οι

αριθμοί   y₌6 , y=24, και y=42  (6)

Αντικαθιστούμε τις τιμές του «y» στη (5) κι’ έχουμε

z=(1.500-13y)/18 --> z=(1.500-13*6)/18 --> z=(1.500-78)/18 -->

z= 1.422/18 --> z=79 (7)

z=(1.500-13y)/18 --> z=(1.500-13*24)/18 --> z=(1.500-312)/18 -->

z= 1.188/18 --> z=66 (7)

z=(1.500-13y)/18 --> z=(1.500-13*42)/18 --> z=(1.500-546)/18 -->

z= 954/18 --> z=53 (7)

Αντικαθιστούμε τις τρεις τιμές του (6) και τις τρεις τιμές του (7) στη (4)

κι’ έχουμε:

x=100-y-z --> x=100-6-79 --> x=100-85 --> x=15 (8)

x=100-y-z --> x=100-24-66 --> x=100-90 --> x=10 (8)

x=100-y-z --> x=100-42-53 --> x=100-95 --> x=5 (8)

Αν «y>42»,  τότε η τιμή του «x» είναι αρνητική, οπότε απορρίπτεται.

Από τ’ ανωτέρω βλέπουμε ότι προκύπτουν τρεις λύσεις, οι οποιες είναι αποδεκτές.

Επαλήθευση:

x+y+z = 100 -->    5+42+53=100

x+y+z = 100  --> 10+24+66 =100

x+y+z = 100  -->  15+6+79=100

(7/2)x+(4/3)y+(1/2)z = 100 --> (7*5)/2+(4*42)/3+(1*53)/2=100 -->

35/2+168/3+53/2=100 --> 17,5+56+26,5=100  ο.ε.δ

(7/2)x+(4/3)y+(1/2)z = 100 --> (7*10)/2+(4*24)/3+(1*66)/2=100 -->

70/2+96/3+66/2=100 --> 35+32+33=100  ο.ε.δ

(7/2)x+(4/3)y+(1/2)z = 100 --> (7*15)/2+(4*6)/3+(1*79)/2=100 -->

105/2+24/3+79/2=100 --> 52,5+8+39,5=100  ο.ε.δ.