Το Αγρόκτημα

Σ’ ένα αγρόκτημα ένας  αγρότης εκτρέφει άλογα, πρόβατα και κότες. Κάθε είδος ζώου είναι ένας διαφορετικός πρώτος αριθμός. Ο αγρότης σκέφτηκε ως εξής:

-«Εάν πολλαπλασιάσω το πλήθος των προβάτων μου με το άθροισμα των 
αριθμών των προβάτων και των αλόγων μου, τότε θα βρω έναν αριθμό 
μεγαλύτερο κατά 120 από τις κότες μου.»
Πόσα ήταν τα ζώα που είχε ο αγρότης και από πόσα το καθ' ένα;
(Κατ.34/Νο.686)

Πηγή:Από το βιβλίο "Ο Οιδίποδας και η Σφίγγα", του Α. Πούλου

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/07/blog-post_17.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Έστω Α τα άλογα Π τα προβατα και Κ οι κότες. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: Π*(Π+Α)=Κ+120 (1), Εάν Α, Π, Κ πρώτοι αριθμοί εκτός του 2, τότε Π*(Π+Α)= άρτιος αριθμός και Κ+120 περιττός αριθμός, άτοπον, άρα: α) Κ+120 άρτιος, άρα Κ=2 =>Π*(Π+Α)=122=2*61 (1*122 δεν γίνεται δεκτό αφού το 1 δεν θεωρείται πρώτος αριθμός), άρα Π=2 και Α=59 άρα Α=59, Π=2, Κ=2 β) Κ+120= περιττός αριθμός =>Π*(Π+Α)= περιττός αριθμός => Π=περιττός και Α=2 και η εξίσωση γίνεται: Π*(Π+2)=Κ+120 => Π^2+2Π-120=Κ ή (Π+12)*(Π-10)=Κ(=πρώτος αριθμός) => (Π-10) = 1 =>Π =11 και Κ=11+12=23 Άρα Α=2, Π=11, Κ=23