Γάτα Εναντίων Ποντικιών

Μια γάτα ήταν πολύ καλή στο να πιάνει ποντίκια. Την πρώτη ημέρα έπιασε το ένα τρίτο των ποντικιών. Την δεύτερη ημέρα έπιασε το ένα τρίτο των ποντικιών που είχαν μείνει από τη πρώτη ημέρα. Την τρίτη ημέρα έπιασε το ένα τρίτο των ποντικών που είχαν μείνει από τη δεύτερη ημέρα. Την τέταρτη ημέρα έπιασε τα υπόλοιπα οκτώ ποντίκια που είχαν μείνει από την τρίτη ημέρα. Πόσα ποντίκια υπήρχαν αρχικά; (Κατ.34/Νο.676)

Πηγή:http://mathefarm

Λύση

Αρχικά υπήρχαν 27 ποντίκια. Η γάτα τη πρώτη ημέρα έπισε 9 ποντίκια, τη δεύτερη ημέρα έπιασε 6 ποντίκια, τη τρίτη ημέρα έπιασε 4 ποντίκια και τη τέταρτη ημέρα έπιασε τα υπόλοιπα 8. Έστω «π» τα ποντίκια που υπήρχαν στην αρχή. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε: α)Τη πρώτη ημέρα έπιασε το 1/3 οπότε έμειναν υπόλοιπα: π–(π/3) = (3*π-π)/3 = 2*π/3 ποντίκια β)Τη δεύτερη ημέρα έπιασε το 1/3 από τα υπόλοιπα: (2*π/3)*1/3 =2*π/9 ποντίκια και μένουν υπόλοιπα: (2*π/3)-(2*π/9)= [(3*2*π)-2*π]/9 = (6*π-2*π)/9 = 4*π/9 ποντίκια. γ)Τη τρίτη ημέρα έπιασε το 1/3 από τα υπόλοιπα: (4*π/9)*1/3=4*π/27 ποντίκια και μένουν υπόλοιπα: (4*π/9)-(4*π/27)=[(3*4*π)-4*π]/27=(12*π-4*π)/27=8*π/27 ποντίκια δ)Επειδή, βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος, τη τέταρτη ημέρα επίασε τα υπόλοιπα 8 που είχαν μείνει, έχουμε τη εξίσωση: 8*π/27=8 --> 8*π=8*27 --> π=(8*27)/8 --> π=27 ποντίκια. Επαλήθευση: α)π/3 --> 27/3= 9 ποντίκια. β)2*π/9 --> (2*27)/9 --> 54/9= 6 ποντίκια γ)4*π/27 --> (4*27)/27 --> 108/27= 4 ποντίκια. δ) 8*π/27 --> (8*27)/27 --> 8 ποντίκια. Άρα έπιασε συνολικά: 9 + 6 + 4 + 8 = 27 ποντίκια ο.ε.δ.