Η Ισότητα

Με πόσους κύκλους πρέπει ν’ αντικαταστήσουμε το ερωτηματικό; (Κατ.9Α΄/Νο.21)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/02/blog-post_986.html

Λύση

Το ερωτηματικό πρέπει ν’ αντικατασταθεί απο 5 κύκλους. Έστω «α» το τετράγωνο, «β» ο κύκλος, «γ» το τρίγωνο, και «δ» ο ρόμβος. Βάσει των ανωτέρω έχουμε: α+β=γ (1), β+δ=α (2), 2γ=3δ (3), α=? (4). Αντικαθιστούμε την (1) στη (3) κι’ έχουμε: 2γ=3δ --> 2*(α+β)=3δ --> δ=2*(α+β)/3 (5) Αντικαθιστούμε τη (5) στη (2) κι’ έχουμε: β+δ=α--> α=β+2*(α+β)/3 --> α=[3β+2*(α+β)]/3 --> 3α=3β+2α+2β --> 3α-2α=5β --> α=5β (6) Επαλήθευση: α+β=γ --> 5β+β=γ --> γ=6β, β+δ=α--> 5β=β+δ --> δ=5β-β --> δ=4β, 2γ=3δ --> 2*6β=3*4β --> 12β=12β, α=? --> α=5β ο.ε.δ.