Η Σκάλα

Μία σκάλα έχει 5 σκαλοπάτια. Ανεβαίνουμε και κατεβαίνουμε τη σκάλα πατώντας μία φορά σε κάθε σκαλοπάτι (χωρίς να πατάμε στο έδαφος), μετρώντας 1 για το 1^ο σκαλοπάτι, 2 για το 2^ο , κλπ μέχρι το 5 για το 5^ο. Στο έκτο βήμα, αρχίζουμε και κατεβαίνουμε μετρώντας 6 για το 4^ο σκαλοπάτι, 7 για το 3^ο, κλπ. Όταν μετρήσουμε μέχρι το 1.000 σε ποιο σκαλοπάτι θα βρισκόμαστε;(Κατ.3/Νο.26)

Πηγή: Παράρτημα Ε.Μ.Ε. – Διαγωνισμός Α΄ Γυμνασίου - 2013

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Στο δεύτερο σκαλοπάτι.Ο πρώτος «κύκλος» ανέβα-κατέβα είναι 9 πατήματα και οι υπόλοιποι «κύκλοι» 8 πατήματα ο καθένας συν τα τελευταία πατήματα, έστω «α». Όπου «α» μεγαλύτερο η ίσο του μηδενός και «α» μικρότερο του οκτώ, άρα ισχύει: 1.000 = 1+8κ+α --> 8κ+α=999 --> 124*8+7=999 Άρα στο χιλιοστό πάτημα θα βρισκόμαστε στον 7ο του τελευταίου κύκλου, δηλαδή, στο 2ο σκαλοπάτι. Ή με χρήση mod, 999mod8 =(ισοδύναμο) 7mod8, άρα στο 2 σκαλοπάτι. Λύση του Papaveri. Το δεύτερο σκαλοπάτι είναι το χιλιοστό. Και τούτο, διότι κατά την αρίθμηση το 1o σκαλοπάτι καταμετρήθηκε ως 1ο, 9ο, 17ο,...,n-oστό. Οι ανωτέρω όροι αποτελούν αριθμητική πρόοδο με: Πρώτο όρο: α=1 Λόγο: ω=8 ν =μικρότερο ή ισο του 1.000 Τελευταίο όρο: τ=; Από το τύπο τ=[α+(ν-1)*ω] βρίσκουμε το τελευταίο όρο της αριθμητικής πορόδου. Το «ν» είναι ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός για τον οποίο ισχύει: 1+(ν-1)*8μικρότερο ή ισο του 1.000 --> (ν-1)μικρότερο ή ισο του (1.000-1)/8 --> (ν-1)μικρότερο ή ισο του 999/8 --> (ν-1)μικρότερο ή ισο του 124,075 --> (ν)μικρότερο ή ισο του 124,075+1 --> (ν) μικρότερο ή ισο του 125,075 Άρα ν=125. Οπότε έχουμε: τ=[α+(ν-1)*ω] --> τ=[1+(125-1)*8] --> τ=[1+(124)*8 ] --> τ = 1+992 --> τ=993 Επομένως ο αριθμός 993 αντιστοιχεί στο πρώτο σκαλοπάτι και απομένουν 7(1.000-993) αριθμοί μέχρι το 1.000, που πολύ εύκολα, κάνοντας την αντίστοιχία, βρίσκουμε ότι ο αριθμός 1.000 αντιστοιχεί στη δεύτερο σκαλοπάτι.