Οι Αριθμοί

Το άθροισμα δυο αριθμών είναι 45 Το άθροισμα του λόγου τους και του αντίστροφου του λόγου τους είναι 2,05. Ποιοι είναι οι αριθμοί; (Κατ.34/Νο.644)
Πηγή:Εισαγωγικές Εξετάσεις στη Σχολή Ικάρων, 1967

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Έστω α και β οι αριθμοί α+β=45 => β=45-α (1) α/β+β/α=2,05 =>α^2+β^2=2,05*αβ =>(α+β)^2-2αβ= 2,05*αβ => 45^2 =4.05αβ =>αβ=2025/4.05=500 (2), αντικαθιστώ το β από(1) στην (2) α*(45-α)=500 => α^2-45α+500=0 => α=[45+ή-((-45)^2-4*500)^0,5]/2, άρα α=25 ή α=20 και β=20 ή β=25 αντίστοιχα. Λύση του sw. Από την εκφώνηση έχουμε (i)α+β=45 και (ii)(α/β)+(β/α)=2,05 Λύνουμε τη (ii) και έχουμε (α/β)+(β/α)=2,05==>α^2+β^2=2,05αβ==>(α+β)^2-2αβ=2,05αβ (από την ταυτότητα: (α+β)^2=α^2+β^2+2αβ) Σε συνδυασμό με την (i) έχουμε 4,05αβ=2025==>αβ=500 Οι δύο καινούργιες σχέσεις που έχουν διαμορφωθεί τώρα είναι (1) α+β=45 και (2) αβ=500==>α=500/β Έτσι με αντικατάσταση στην (1) έχουμε (500/β)+β=45==>(500+β^2)/β=45==> β^2-45β+500=0 Βρίσκουμε διακρίνουσα και ρίζες Δ=Β^2+4αγ=25>0. Δύο ρίζες οι οποίες είναι οι (-β+sqr(Δ))/2 και (-β-sqr(Δ))/2 και εάν λύσουμε αντίστοιχα (45+5)/2=25 και (45-5)/2=20 άρα οι πιθανές λύσεις είναι α=20, β=25 ή α=25, β=20.