Οι Κηπουροί

Τρεις κηπουροί, ο Αποστόλης, ο Βαγγέλης και ο Γιάννης, κουρεύουν κάθε μήνα το γκαζόν ενός μεγάλου κήπου. Αν το κούρευε μόνος του ο Αποστόλης θα έκανε 1 ώρα παραπάνω απ’ ότι κάνουν και οι τρεις μαζί. Αν το κούρευε μόνος του ο Βαγγέλης θα έκανε 5 ώρες παραπάνω και αν το κούρευε μόνος του ο Γιάννης θα έκανε 8 ώρες παραπάνω.
Σε πόση ώρα κουρεύουν το γκαζόν ο Αποστόλης και ο Βαγγέλης μαζί;(Κατ.34/Νο.589)

Πηγή:http://pantsik.awardspace.com/problems/ypologismoy.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Έστω "α" η ώρα που χρειάζεται ο Αποστόλης, "β" η ώρα που χρειάζεται ο Βαγγέλης και "γ" η ώρα που χρειάζεται ο Γιάννης για να κουρέψουν το γκαζόν ,ο καθένας μόνος του αντίστοιχα. Η ώρα που απαιτείται (για συνδυασμένη απόδοση/έργο) για δύο μαζί ,έστω τους Α και Β, είναι ως γνωστόν αβ/(α+β) . Αν έχουμε κι έναν τρίτο, έστω Γ, θα έχουμε {(αβ/(α+β)*γ)/(αβ/(α+β))+γ)} , το οποίο με λίγες απλοποιητικές πράξεις δίνει: Χρόνος των τριών μαζί: αβγ/(αβ+βγ+αγ) (1) Άρα, από τα δεδομένα, έχουμε το σύστημα: α-1 = αβγ/(αβ+βγ+αγ) β-5 = αβγ/(αβ+βγ+αγ) γ-8= αβγ/(αβ+βγ+αγ) Το σύστημα αυτό έχει τις θετικές λύσεις: α=(1/2)*(ρίζα65 -3) β=(1/2)*(5 + ρίζα65) γ= (1/2)* (11+ρίζα65) Ή προσεγγιστικά: α= 2,53113 β=6,53113 γ=9,53113 (ώρες) Άρα η συνδυασμένη απόδοση Α και Β που ζητείται είναι : αβ/(α+β)= 1,82417 ώρες (ή 1 ώρα 49 πρώτα λεπτά και 27 δευτερόλεπτα..) Λύση του Ε. Αλεξίου. Έστω «x» οι ώρες που κάνουν και οι τρεις μαζί για να κουρέψουν το γκαζόν. Τότε ο Αποστόλης θα κάνει x+1 ώρες, ο Βαγγέλης x+5 και ο Γιάννης x+8 ώρες. Για μια ώρα ισχύει [1 / (x+1) +1 / (x+5) + 1 / (x+8)] = 1 / x => [(x+5)*(x+8) + (x+1)*(x+8) + (x+1)*(x+5)] / [(x+1)*(x+5)*(x+8)] =1/x => [(x^2+13x+40) + (x^2+9x+8) + (x^2+6x+5)] *x = (x^2+6x+5)(x+8) => x^3+13x^2+40x + x^3+9x^2+8x + x^3+6x^2+5x = x^3+6x^2+5x+8x^2+48x+40 => 3x^3 +(13+9+6=28 )x^2 + (40+8+5=53)*x= x^3 + (6+8=14)x^2 +(5+48=53)x+40 => 2x^3 + 14x^2 – 40 = 0 => x^3 +7x^2 -20 = 0 => x=1.53113 => Αποστόλης: 2.53113 ώρες Βαγγέλης: 6.53113 ώρες Γιάννης: 9.53113 ώρες Αποστόλης και Βαγγέλης κουρεύουν μαζί το γκαζόν σε: x*[1/(α+1)+1/(α+5)]=1 -->x*[1/(1,53113+1)+1/(1,53113+5)=1 --> x*[(1/2,53113)+ (1/ 6,53113)]= 1 --> x*(6,53113+2,53113)=(6,53113*2,53113)*1 --> 9,06226x=16,5311390769 --> x=16,5311390769/9,06226 --> x=1,82417=1 ώρα 49 λεπτά 27 δευτερόλεπτα και 0,84εκατοστά. του δευτερολέπτου