Η Πιθανότητα

Εάν μια λευκή βασίλισσα και ένας μαύρος βασιλιάς τοποθετηθούν σε τυχαίες θέσεις, σε μία άδεια σκακιέρα, ποια είναι η πιθανότητα ο βασιλιάς να είναι υπό απειλή; (Κατ.33/Νο.24)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/09/blog-post_3334.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Ο δειγματικός χώρος των θέσεων της βασίλισσας για κάθε θέση του βασιλιά είναι 63 τετράγωνα. Υπολογισμός ευνοικών ενδεχόμενων ο βασιλιάς να είναι υπό απειλή. α) Απειλές οριζοντίως - καθέτως Σε όποια θέση και να βρεθεί ο βασιλιάς δέχεται απειλή από 7+7= 14 τετράγωνα Πιθανότητα Πα(υπό απειλή)=14 / 63 β) Λοξές (“διαγώνιες”) απειλές Οι λοξές απειλές δεν είναι σταθερός αριθμός, αλλά εξαρτώνται από την θέση του βασιλιά. Διακρίνω τις παρακάτω περιπτώσεις. β1) Ο βασιλιάς σε περιμετρικό τετράγωνο ή τα 4 γωνιακά, 6*4+4 = 28 τετράγωνα, απειλή από 7 τετράγωνα ανά θέση βασιλιά. Σύνολον απειλών 28*7=196 β2) ο βασιλιάς στα αμέσως παράλληλα τετράγωνα (6+4)*2 = 20 τετράγωνα, απειλή από 9 τετράγωνα. Σύνολον απειλών 20*9 = 180 β3) Ο βασιλιάς στα αμέσως επόμενα παράλληλα (4+2)*2=12 τετράγωνα, απειλή από 11 τετράγωνα. Σύνολον απειλών 12*11 = 132 β4) Ο βασιλιάς στα 4 κεντρικά τετράγωνα, απειλή από 13 τετράγωνα. Σύνολον απειλών 4*13 = 52 Σύνολον λοξών (“διαγώνιων”) απειλών 196+180+132+52 = 560 Μέση “διαγώνια” απειλή = 560/64 = 8,75 Πιθανότητα Πβ(υπό απειλή)=8,75 / 63 Συνολική πιθανότητα Π(υπό απειλή) = 14 / 63 + 8,75 / 63 = 22,75 / 63 = 0,3611(36,11%)