Το Πλάτος

Δύο βάρκες διασχίζουν ένα ποτάμι από αντίθετες όχθες. Η μια ξεκινάει από την όχθη "Α" και η άλλη από την όχθη "Β". Όταν συναντηθούν για πρώτη φορά βρίσκονται  720μέτρα μακριά από την όχθη "Β". Όταν φτάσουν στις απέναντι όχθες περιμένουν 10λεπτά, για αποβίβαση και επιβίβαση των επιβατών, και διασχίζουν εκ νέου το ποτάμι. Αυτή τη φορά όταν συναντώνται απέχουν 400μέτρα από την όχθη "Α". Πόσο είναι το πλάτος του ποταμού; (Κατ.34/Νο.585)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2011/04/blog-post_7256.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Το πλάτος του ποταμού είναι 1.760μέτρα. Υποθέτω σταθερές ταχύτητες για κάθε βάρκα , έστω «V» αυτή της πιο γρήγορης και «v» αυτή της πιο αργής, και «α» το ζητούμενο πλάτος του ποταμού. Στην 1η συνάντηση στα 720μέτρα έχουμε: 720/v =(α -720)/V=t (1) t= o χρόνος συνάντησης και προφανώς η γρήγορη (V) κάλυψε τη μεγαλύτερη απόσταση ίση με α-720 Ο συνολικός χρόνος ,έστω t(v), της αργής είναι :α/v(για να περάσει όλο το πλάτος του ποταμού) +10 λεπτά(αναμονή) + 400/v(μέχρι να φτάσει στο 2ο σημείο συνάντησης) t(v) =α/v +10 +400/v και ισούται με τον t(V) της γρήγορης που είναι t(V)=α/V +10 + ( α-400)/V Ισχύει λοιπόν: α/v +10 +400/v = α/V +10 + ( α-400)/V (2) H (2) δείχνει βέβαια ότι εφ’ όσον αναμένουν τον ίδιο χρόνο και οι δύο βάρκες (10 λεπτά) δεν παίζει κανέναν ρόλο αυτός ο χρόνος και θα μπορούσε να είναι τυχαίος. Η (1) γίνεται: 720*V=v*α – 720v ή v/V = 720/(α-720) (3) Από την (2) έχουμε: v/V= (400+α)/(2α-400) (4) Εξισώνοντας τις (3) και (4) έχουμε: (Εδώ πια επιτέλους, αντιλαμβάνομαι ο βραδύνους ότι πήγα από Αθήνα στο χωριό μου (Λαμία) μέσω Σπάρτης, μια και οι (3) και (4) είναι απολύτως προφανείς εξισώσεις που προκύπτουν από την αναλογία λόγου ταχυτήτων και διανυομένων αποστάσεων (οι χρόνοι αναμονής στις όχθες είναι αδιάφοροι) και θα μπορούσα να έχω καταλήξει σ’ αυτές κατευθείαν, αλλά κρίμα είναι να σβήσω όσα έγραψα..):-) Άρα: 720/(α-720) =(400+α)/(2α-400) -->720*((2α-400)=(400+α)(α-720) --> 1.440α-288.000=400α+α^2-288.000-720α --> 1.440α-400α+720α=α^2+288.000-288.000 --> α^2-1.760α=0 --> α^2=1.760α --> (α^2)/α=1.760 --> α=1.760μ.