Το Ταξίδι

Βρίσκεστε στην Ιταλία και αναχωρείτε με το αυτοκίνητό σας από την ιστορική πόλη Φλωρεντία με ταχύτητα 120χλμ/ώρα στην κατηφόρα, 80χλμ/ώρα σε ευθεία, και 60χλμ/ώρα στην ανηφόρα, με σκοπό να φτάσετε  στη πόλη Πίζα, για να δείτε τ’ αξιοθέατα,  και να επιστρέψετε την ίδια ημέρα στη Φλωρεντία. Συνολικά κάνετε 6 ώρες για να φτάσετε και 4 ώρες για να επιστρέψετε. Πόσο μακριά είναι οι δύο πόλεις μεταξύ τους; (Κατ.34/Νο.578)

Πηγή:?

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Έστω ότι η ολική απόσταση ανά: κατηφόρα, ευθεία, και ανηφόρα, στο ταξίδι του πηγαιμού προς Πίζα, είναι x, y, και z, αντίστοιχα. Ο χρόνος για να διανυθεί μια απόσταση ,έστω d ,είναι d/v. (v=η ταχύτητα) Έτσι ,για το ταξίδι του πηγαιμού ισχύει: x/120 + y/80 + z/60 = 6 (α) Στο ταξίδι επιστροφής, τα ισιώματα παραμένουν ισιώματα, αλλά οι αρχικές ανηφόρες γίνονται κατηφόρες και αντίστροφα ,άρα έχουμε: x/60 + y/80 + z/120 = 4 (β) Σύστημα 2 εξισώσεων με 3 αγνώστους, αλλά μας ενδιαφέρει το x+y+z που είναι η απόσταση που ψάχνουμε. Πολλ/ζουμε τις (α) και (β) με το Ε.Κ.Π των παρονομαστών 120, 80, και 60, που είναι το 240 και έχουμε: 2x + 3y + 4z = 6 * 240 4x + 3y + 2z = 4 * 240 Προσθέτουμε κατά μέλη: 6(x + y + z) = 10*240 άρα: x + y + z = 400 Λύση του Ε. Αλεξίου. Χ η κατηφόρα Υ η ευθεία και Ζ ανηφόρα Χ/120 +Υ/80 +Ζ/60 =6 ώρες από Φλωρεντία πρός Πίζα. Χ/60 +Υ/80 +Ζ/120 =4 ώρες από Πίζα σε Φλωρεντία. Προσθέτω κατά μέλη (Χ/120+Χ/60)+2Υ/80+(Ζ/60+Ζ/120)=10=>3Χ/120 +3Υ/120 +3Ζ/120=10 => (3Χ+3Υ+3Ζ)/120=10 => 3*(Χ+Υ+Ζ)=1200 => Χ+Υ+Ζ = 400 χιλιόμετρα Συνεπώς απέχουν 400 χιλιόμετρα Αφαιρώ κατά μέλη Χ/120-Χ/60 +Ζ/60-Ζ/120=2 => -Χ/120+Ζ/120=2 => Ζ-Χ=240 40/120 +80/80 +280/60 = 6 ώρες 40/60 +80/80 +280/120 = 4 ώρες Λύση του Papaveri. Η απόσταση μεταξύ των δύο πόλεων είναι 400Km. Έστω ότι η διαδρομή από την πόλη Φλωρεντία προς την πόλη Πίζας έχει «x» χιλιόμετρα ανηφόρα, «y» χιλιόμετρα ευθεία , και «z» χιλιόμετρα κατηφόρα. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος θα έχουμε: x/120+y/80+z/60=6 (1) x/60+y/80+z/120=4 (2) Προσθέτουμε κατά μέλη την (1) και (2) κι’ έχουμε: x/120+x/60=(x +2x)/120=3x/120=x/40 y/80+y/80=2y/80=y/40 z/60+z/120=(2z+z)/120=3z/120=z/40 x/40+y/40+z/40=10 --> x+y+z=10*40 x+y+z=400km = απόσταση των δύο πόλεων.