Οι Σχηματισμοί

Κατά τη διάρκεια μιας αεροπορικής άσκησης, τα αεροπλάνα που συμμετείχαν, στην αρχή σχημάτισαν ένα μεγάλο τετράγωνο (Σχ.1) και στη συνέχεια ένα τρίγωνο (Σχ.2). Πόσα αεροπλάνα συμμετείχαν στην άσκηση; (Κατ.34/Νο.570)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/07/blog-post_9437.html

Λύση

Έστω ότι όταν σχημάτιζαν τετράγωνο η κάθε σειρά είχε κ ,το πλήθος, αεροπλάνα συνεπώς πετούσαν κ²,το πλήθος. Μετά στην τριγωνική διάταξη αν έχουμε ν το πλήθος γραμμές (με τη 1η γραμμή να έχει 1 αεροπλάνο όπως δείχνει το σχήμα) το σύνολο τους θα είναι:1+2+3+...+ν=ν(ν+1)/2. Άρα έχουμε την εξίσωση ν(ν+1)=2κ² με ν,κ θετικούς ακεραίους Η απάντηση δεν είναι μονοσήμαντη. Θα δώσω 2 λύσεις 1) 36 αεροπλάνα:6x6=36 και 1+2+3+...+8=36 δηλαδή 6 γραμμές σε τετράγωνο και 8 σε τρίγωνο 2) 1225 αεροπλάνα:35x35 ,1+2+3+...+49=1.225 Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Θεωρητικά (από άποψη "καθαρών" μαθηματικών)οι λύσεις είναι άπειρες, γιατί άπειροι είναι οι αριθμοί που είναι ταυτόχρονα τριγωνικοί(σχηματίζουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο) και τετραγωνικοί. Πρακτικά όμως η μόνη απάντηση είναι36 (ο όγδοος τριγωνικός αριθμός) γιατί ο επόμενος είναι το 1225 που δεν είναι αριθμός αεροσκαφών σμήνους επιδείξεων ,αλλά ο αεροστόλος νοτιοανατολικής Μεσογείου και παραδουνάβιων ηγεμονιών, μαζί! :-) Λύση του Ε. Αλεξίου. Διέκρινα 2 περιπτώσεις α) 36 αεοπλάνα 6*6=36 1+2+3+4+5+6+7+8=36 β)1225 αεροπλάνα (υπάρχει χώρα με τόσα αεροπλάνα ή καλύτερα μπορούν να πάρουν μέρος σε μία άσκηση? Ιδέα δεν έχω, αλλά είναι μία μαθηματική εκδοχή) 35^35=1225 1+2+3+..+49=49*(1+49)/2=1225 Πιθανόν να ψάξω και για άλλον μεγαλύτερο σχηματισμό.