Ο Αριθμός του Σπιτιού

 Κάποιος ζει σε ένα μεγάλο δρόμο, όπου τα σπίτια είναι αριθμημένα 1, 2, 3 και ούτω καθεξής. Το άθροισμα των αριθμών των σπιτιών πριν από το σπίτι του είναι ίσο με το άθροισμα των αριθμών των σπιτιών μετά από το σπίτι του. Ο αριθμός των σπιτιών που υπάρχουν στον δρόμο είναι μεταξύ 50 και 500. Ποιος είναι ο αριθμός του σπιτιού του; (Κατ.34/Νο.567)

Πηγή: http://eisatopon.blogspot.gr/2012/06/blog-post_3099.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Έστω χ ο αριθμός του σπιτιού του. Πριν από το σπίτι του υπάρχουν τα σπίτια με αριθμούς 1,2,3,....(χ-1) και μετά από το σπίτι του τα σπίτια με αριθμούς χ+1,χ+2,χ+3,.....,χ+κ. Με βάση το δεδομένο ότι άθροισμα αριθμών πριν = με άθροισμα αριθμών μετά πρέπει να ισχύει (χ-1)*(1+(χ-1))/2=κ*((χ+1)+(χ+κ)/2 => χ^2-(2κ+1)χ-κ*(κ+1)=0 => χ={(-β+ή-ρίζα(Δ)}/2 όπου β=-(2κ+1) και Δ=(2κ+1)^2-4*1*(-κ*(κ+1) =>Δ= 8κ(κ+1)+1 Επειδή οι αριθμοί είναι ακέραιοι πρέπει Δ=τέλειο τετράγωνο και εμπειρικά, με αλληλουχία πράξεων βρίσκω ότι συμβαίνει για κ=84 που δίνει Δ=8*84*85+1=57121=>ρίζα Δ=239 και β=-(2*84+1), β=-169 =>-β=169 Συνεπώς χ=(169+239)/2=204 Άθροισμα αριθμών σπιτιών πριν: (χ-1)*(1+(χ-1))/2=203*(1+203)/2=20706 Άθροισμα αριθμών σπιτιών μετά: κ*((χ+1)+(χ+κ)/2=84*(204+1+204+84)/2=84*493/2=20.706 Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Αν k o αριθμός πρίν το σπίτι, και m o συνολικός αριθμός σπιτιών, ουσιαστικά ψάχνουμε λύση στο ακόλουθο σύστημα: (1+k)*k/2 =(k+2+m)*(m-k-1)/2 (oι τύποι των αθροισμάτων των αριθμ.σειρών) 50<=m<=500 Το σύστημα έχει δύο ακέραιες λύσεις K=-205 , m=288 απορρίπτεται K=203 , m=288 δεκτή. Άρα ο αριθμός του σπιτιού είναι k+1=204. EΛΕΓΧΟΣ: 1+2+3+…+203=20.706 205+206+…+288=20.706