Ο Τριψήφιος Αριθμός

Το γινόμενο δύο τριψήφιων αριθμών abc και cba ισούται με 396396, όπου a μεγαλύτερο του c. Nα βρεθεί ο τριψήφιος αριθμός abc. (Κατ.26/Νο.52)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/09/abc.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Ο τριψήφιος αριθμός είναι ο 924. Έστω abc ο τριψήφιος αριθμός και cba ο αντίστροφός του που είναι της μορφής (100a+10b+c) και (100c+10b+a). Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: abc*cba=396.396 --> (100a+10b+c)* (100c+10b+a)=396.396 --> (a*10^2+b*10+c)*(c*10^2+b*10+a)=396.396 --> a*c*10^4+b*c*10^3+c^2*10^2+a*b*10^3+b^2*10^2+ b*c*10+ a^2*10^2+10*a*b+a*c = 396.396 a*c*10^4+10^3*(ab+bc)+10^2(a^2+b^2+c^2)+10*(ab+bc)+a*c=396396 a*c*10^4+10^3*b*(a+c)+10^2(a^2+b^2+c^2)+10*b(a+c)+a*c=396396 Επειδή οι μονάδες πρέπει να είναι 6 πρέπει, a*c=x*6 και a>c (a=9,c=4), (a=8,c=2) (a=6,c=1) (a=3 ,c=2) Δοκιμάζω για a=9, c=4, που μου φαίνεται πιθανότερη η εκδοχή: 9*4*10^4+10^3*b*(9+4)+10^2(9^2+b^2+4^2)+10*b(9+4)+9*4=396.396 36*10.000+1.000*b*13+100*(81+b^2+16)+10*b*13+36=396.396 36*10.000+1.000*b*13+100*(97+b^2)+10*b*13+36=396.396 360.000+13.000*b+9.700+100*b^2+130*b+36=396.396 100*b^2+13.130*b=396.396-360.000-9.700-36 --> 100*b^2+13.130*b=26.660 --> 100*b^2+ 13.130*b-26.660=0 Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε: x=(-β+/-sqrt[(β^2-4αγ)]/2α --> x=-13.130+/-sqrt[(13.130)^2-(4*100*(-26.660))]/2*100 --> x=[-13.130+/-sqrt(172.396.900+ 10.664.000)]/200 --> x=[-13.130+/-sqrt(183.060.900)]/200 --> x=(-13.130+/-13.530)/200 --> x1=(-13.130+13.530)/200 --> x1=400/200 --> x1= 2 (Αποδεκτό) x2=(-13.130-13.530)/200 --> x2= -26.660/200 --> x2= -133,30 (Απορρίπτεται) Επαλήθευση: abc*cba=396.396 --> 924*429=396396