skip to main |
skip to sidebar
στις
7:04 μ.μ.
Τέσσερα άλογα παίρνουν μέρος στη
διάσημη ιπποδρομία MathsMasters Cup. Υποθέτοντας ότι δεν έχουμε ισοβαθμίες με
πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να διασχίσουν τη γραμμή του
τερματισμού; Τι θα συμβεί στην περίπτωση που θα έχουμε ισοβαθμίες; (Κατ.5/Νο.69)
Λύση του Γ. Ριζόπουλου.
H περίπτωση χωρίς ισοβαθμίες είναι απλή και γνωστή: 4! =1*2*3*4=24 συνδυασμοί τερματισμών.
Αν έχουμε ισοβαθμίες:
Τα άλογα μπορεί να τερματίσουν σε ομάδες/μπλοκ των 1, 2, 3, ή 4 αλόγων.
Έστω a, b, c, d, τα 4 άλογα
Ένα παράδειγμα 3 μπλοκ είναι: (a) (b) (c, d). Αυτό ερμηνεύεται σαν ότι τα άλογα c και d είναι ισόπαλα, και τα άλογα a, b, και (c, d) τερμάτισαν ξεχωριστά (σε διακριτές/διαφορετικές θέσεις: 1 -2- 3(τα ισόπαλα c και d).
Τα τρία μπλοκ (a), (b), (c, d) μπορούν να αναδιαταχθούν με 3! = 6 τρόπους. Φανερά, αυτό ισχύει για κάθε διαμερισμό των μπλοκ των τριών.
Τα πιθανά διαφορετικά μπλοκ είναι
4. (μπλοκ των 1,2,3 ή 4 ομάδων)
1. (a, b, c, d)
Διαμερισμοί: 1 Αναδιατάξεις ανά διαμερισμό: 1!
Συνδυασμοί: 1*1! =1
2. (a) (b, c, d), (b) (a, c, d), (c) (a, b, d), (d) (a, b, c), (a, b) (c, d), (a, c) (b, d), (a, d) (b, c)
Διαμερισμοί: 7 Αναδιατάξεις ανά διαμερισμό: 2!
Συνδυασμοί: 7*2! =14
3. (a) (b) (c, d), (a) (c) (b, d), (a) (d) (b, c), (b) (c) (a, d), (b) (d) (a, c), (c) (d) (a, b)
Διαμερισμοί: 6 Αναδιατάξεις ανά διαμερισμό: 3!
Συνδυασμοί: 6*3! =36
4. (a) (b) (c) (d)
Διαμερισμοί: 1 Αναδιατάξεις ανά διαμερισμό: 4!
Συνδυασμοί: 1*4! =24
Έτσι, ισοβαθμιών συνυπολογιζομένων 4 άλογα μπορούν να τερματίσουν με:
1 + 14 + 36 + 24 = 75 διαφορετικούς τρόπους.
Αναρτήσεις
4 σχόλια:
Δεν έχω ιδέα από συνδυαστική, ή σωστότερα γνωρίζω ελάχιστα μέσω ίντερνετ,
πρωτοασχολήθηκα πριν από 2-3 μήνες λόγω ενός προβλήματος συνδυασμών σε
ένα άλλο σάιτ που συμμετέχω, αυτό είναι το δεύτερο πρόβλημα και ένα τρίτο,
αλλά με 7 συμετοχές και ισοβαθμίες, όπου η μέθοδος που έχω παρακάτω γέμισε
2 σελίδες πράξεις και διαβάζοντας την λύση του κ. Ριζόπουλου, μία σειρά μόνο η λύση!,
ένος μόνο μαθηματικός τύπος!, διαπίστωσα ότι τα πράγματα
είναι πολύ, πολύ πιο εύκολα, αρκεί να γνωρίζεις τον τύπο και τους συντελεστές-αριθμούς Μπέλ.
Προς το παρόν έχω μόνο το παρακάτω και θέλω να διαπιστώσω αν είναι σωστή η προσέγγιση μου.
..1η.............2η............3η......... ...4η.......... ΣΥΝΟΛΟ
(4,4)=1..................................................... ......1.
(4,3)=4... .(1,1)=1.....................................4*1=4
(4,2)=6. ...(2,2)=1.....................................6*1=6 ............... .(2,1)=2.....(1,1)........................6*2*1=12
(4,1)=4.... (3,3)=1................................... .4*1 =4
............... .(3,2)=3 . (1,1)=1................... 4*3*1=12
............... .(3,1)=3 . (2,2)=1....................4*3*1=12..=51
............................. ... (2,1)=2.....(1,1)=1...4*3*2*1 =24 ..=75
Έτσι στην περίπτωση που δεν έχουμε ισοβαθμίες θα διασχίσουν την γραμμή
τερματισμού με (4,1)*(3,1)*(2,1)*(1,1)=4!=24 διαφoρετικούς τρόπους
και αν έχουμε και ισοβαθμίες άλλους 51 τρόπους,
σύνολον 51+24=75 διαφορετικοίτρόποι τερματισμού.
Kαλημέρα!
H περίπτωση χωρίς ισοβαθμίες είναι απλή και γνωστή: 4! =1*2*3*4=24 συνδυασμοί τερματισμών.
Αν έχουμε ισοβαθμίες:
Τα άλογα μπορεί να τερματίσουν σε ομάδες/μπλοκ των 1, 2, 3, ή 4 αλόγων. Έστω a, b, c, d, τα 4 άλογα
Ένα παράδειγμα 3 μπλοκ είναι: (a) (b) (c, d). Αυτό ερμηνεύεται σαν ότι τα άλογα c και d είναι ισόπαλα, και τα άλογα a, b, και (c, d) τερμάτισαν ξεχωριστά (σε διακριτές/διαφορετικές θέσεις: 1 -2- 3(τα ισόπαλα c και d).
Τα τρία μπλοκ (a), (b), (c, d) μπορούν να αναδιαταχθούν με 3! = 6 τρόπους. Φανερά ,αυτό ισχύει για κάθε διαμερισμό των μπλοκ των τριών.
Τα πιθανά διαφορετικά μπλοκ είναι
4. (μπλοκ των 1,2,3 ή 4 ομάδων)
1. (a, b, c, d)
Διαμερισμοί: 1 Αναδιατάξεις ανά διαμερισμό: 1!
Συνδυασμοί: 1*1! =1
2. (a) (b, c, d), (b) (a, c, d), (c) (a, b, d), (d) (a, b, c), (a, b) (c, d), (a, c) (b, d), (a, d) (b, c)
Διαμερισμοί: 7 Αναδιατάξεις ανά διαμερισμό: 2!
Συνδυασμοί: 7*2! =14
3. (a) (b) (c, d), (a) (c) (b, d), (a) (d) (b, c), (b) (c) (a, d), (b) (d) (a, c), (c) (d) (a, b)
Διαμερισμοί: 6 Αναδιατάξεις ανά διαμερισμό: 3!
Συνδυασμοί: 6*3! =36
4. (a) (b) (c) (d)
Διαμερισμοί: 1 Αναδιατάξεις ανά διαμερισμό: 4!
Συνδυασμοί: 1*4! =24
Έτσι, ισοβαθμιών συνυπολογιζομένων 4 άλογα μπορούν να τερματίσουν με:
1 + 14 + 36 + 24 = 75 διαφορετικούς τρόπους.
Συγχαρητήρια και στους δύο. Άρτια, αναλυτική και τεκμηριωμένη απάντηση.
Επειδή χάλασε λίγο στην μεταφορά το ξανά-στέλνω με περισσότερες τελείες.
..1η.............2η............3η......... ...4η.......... ΣΥΝΟΛΟ
(4,4)=1..................................................... ......1....................................................................................
(4,3)=4... .(1,1)=1.....................................4*1=4....................................................................................
(4,2)=6. ...(2,2)=1.....................................6*1=6.................................................................................... ............... .(2,1)=2.....(1,1)........................6*2*1=12..............................................................................
(4,1)=4.... (3,3)=1................................... .4*1 =4 ..................................................................................
............... .(3,2)=3 . (1,1)=1................... 4*3*1=12..............................................................................
............... .(3,1)=3 . (2,2)=1....................4*3*1=12..=51......................................................................
............................. ... (2,1)=2.....(1,1)=1...4*3*2*1 =24 ..=75............................................................
Έτσι στην περίπτωση που δεν έχουμε ισοβαθμίες θα διασχίσουν την γραμμή
τερματισμού με (4,1)*(3,1)*(2,1)*(1,1)=4!=24 διαφερετικούς τρόπους
και αν έχουμε και ισοβαθμίες άλλους 51 τρόπους,
σύνολον 51+24=75 διαφορετικούς τρόπους τερματισμού.
Δημοσίευση σχολίου