Είμαι
ένας τριψήφιος αριθμός. Αν με πολλαπλασιάσεις με το 2, αφαιρέσεις από το
γινόμενο το 1 και με διαβάσεις ανάποδα τότε με βρήκες. Ποιος είμαι? (Κατ.1/Νο.133)
Λύση του Γ. Ριζόπουλου.
Μια εναλλακτική λύση είναι η εξής:
Ο τριψήφιος αριθμός είναι ο 397. Εάν ο ζητούμενος αριθμός είναι έστω xyz, ισχύει:
2(100x+10y+z)-1=100z+10y+x κι αυτή γίνεται:
199x+10y-98z-1=0 (1)
Oι δυνατές τιμές του x είναι 1,2,3,4 Το 0 αποκλείεται γιατί ο αριθμός τότε θα ήταν διψήφιος και τιμές μεγαλύτερες του 4 επίσης αποκλείονται γιατί τότε το διπλάσιο του xyz θα ήταν μεγαλύτερο του 999 δηλαδή τετραψήφιος αριθμός.
Για x=1 η (1) γίνεται:
10y-98z+198=0
Αυτή μετασχηματίζεται στις: y=49t+39 και z=5t+6 , t ακέραιος. Είναι φανερό ότι δεν υπάρχει t που να μας δίνει "0" μικρότερο "y" και "y" μιρότερο 10,άρα η x=1 δεν κάνει.
Για x=2 η (1) γίνεται:
10y-98z+397=0
Δεν υπάρχουν γι’ αυτή ακέραιες λύσεις.
Για x=3 η (1) γίνεται:
10y-98z+596=0
Αυτή μετασχηματίζεται στις: y=49t+9 και z=5t+7 , t ακέραιος.
Για t=0 έχουμε τις αποδεκτές λύσεις για το επιτρεπόμενο εύρος τιμών των y και z, y=9 και z=7
Για x=4 η (1) γίνεται:
10y-98z+795=0
Δεν υπάρχουν γι' αυτή ακέραιες λύσεις.
Άρα μοναδική λύση η Χ=3, Υ=9 ,Ζ=7
Αναρτήσεις
4 σχόλια:
Σύμφωνα με την εκφώνηση
(100*Α+10*Β+Γ)*2-1=100*Γ+10*Β+Α
Πρέπει mod(2*Γ)-1=Α(1)
mod2Β+1=Β(2)
2Α+1=Γ(3)
Από αυτές τις εξισώσεις πρέπει να βγάλουμε συμπέρασμα
Θα κάνουμε υποθέσεις για Γ=0,1,2...,8,9
Η μόνη τιμή που ικανοποιεί και τις 3 είναι η Γ=7
Άρα Α=3
η μόνη τιμή για την οποία ικανοποιείται η (2) είναι Β=9
Άρα ο αριθμός είναι ΑΒΓ=397
επαλήθευση 2*397-1=794-1=793
@batman1986
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου είναι σωστή.
Μια εναλλακτική λύση είναι η εξής:
Aν ο ζητούμενος αριθμός είναι έστω xyz, ισχύει
2(100x+10y+z)-1=100z+10y+x κι αυτή γίνεται:
199x+10y-98z-1=0 (1)
Oι δυνατές τιμές του x είναι 1,2,3,4 Το 0 αποκλείεται γιατί ο αριθμός τότε θα ήταν διψήφιος και τιμές >4 επίσης αποκλείονται γιατί τότε το διπλάσιο του xyz θα ηταν >999 δηλαδή τετραψήφιος αριθμός.
Για x=1 η (1) γίνεται:
10y-98z+198=0
Aυτή μετασχηματίζεται στις: y=49t+39 και z=5t+6 , t ακέραιος. Είναι φανερό ότι δεν υπάρχει t που να μας δίνει 0<y<10, άρα η x=1 δεν κάνει.
Για x=2 η (1) γίνεται:
10y-98z+397=0
Δεν υπάρχουν γι’αυτή ακέραιες λύσεις.
Για x=3 η (1) γίνεται:
10y-98z+596=0
Aυτή μετασχηματίζεται στις: y=49t+9 και z=5t+7 , t ακέραιος.
Για t=0 έχουμε τις αποδεκτές λύσεις για το επιτρεπόμενο εύρος τιμών των y και z, y=9 και z=7
Για x=4 η (1) γίνεται: 10y-98z+795=0
Δεν υπάρχουν γι'αυτή ακέραιες λύσεις.
Άρα μοναδική λύση η Χ=3, Υ=9 ,Ζ=7
@Γιώργος Ριζόπουλος
Γιώργο, σ'ευχαριστώ. Η λύση που δίνεις είναι πολύ κατανοητή.
Δημοσίευση σχολίου