Η Ημέρα

i) Η 1 Φεβρουαρίου 2011 ήταν ημέρα Τρίτη. Τι ημέρα είχαμε στις 2 Μαρτίου 2012;

ii) Για το έτος Ν η 300η ημέρα του ήταν Τρίτη. 

iii)Για το έτος (Ν+1) η 200η ημέρα του ήταν επίσης Τρίτη. 

Να βρεθεί τι ημέρα ήταν η 100η ημέρα του έτους (Ν-1). (Κατ.13/Νο.30)
Πηγή:http://www.cms.org.cy/assets/files/Skitalodromiaold/LiseisSkital2011.pdf   (Κύπρος - Μαθηματική Σκυταλοδρομία 2011)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/11/1_15.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Oι μέρες συμπίπτουν με τον εαυτό τους σε πολλαπλάσια του 7. Αυτό σημαίνει ότι εφόσον για το έτος Ν έχουμε μια Τρίτη (την 300η μέρα του) κάθε Τρίτη θα απέχει x μέρες ,όταν το x είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 7 . Μπαίνει όμως το θέμα των δίσεκτων χρόνων για τα έτη Ν-1, Ν, Ν+1. Ας υποθέσουμε ότι το έτος Ν δεν είναι δίσεκτο ,άρα έχει 365 μέρες. Άρα (και με βάση το στοιχείο iii) της εκφώνησης) η 200η μέρα του έτους Ν+1 είναι 365-300+200 = 265 μέρες μετά την 300η μερα του Ν ,που είναι Τρίτη. Αλλά το 265 δεν διαρειται με το 7 ακριβώς, 37 * 7= 259 και περισεύουν 6 μέρες ,που σημαίνει οτι η εν λόγω μέρα είναι Δευτέρα, άρα άτοπο, άρα το έτος Ν είναι δίσεκτο. Οπότε και ισχύει όντως ότι η 200η μέρα του Ν+1 είναι πάλι Τρίτη αφού πλέον απέχει 266 (266/7=38) μέρες από μια Τρίτη. Έτσι, δεδομένου οτι το Ν είναι δισεκτο, το Ν-1 δεν είναι. Ισχύει για την 100η μέρα του Ν-1 ότι προηγείται της δοθείσας Τρίτης του Ν κατά 365-100+300= 565 μέρες. Το 565 δεν διαιρείται ακριβώς με το 7 και ισχύει 565= 80 * 7 +5 , άρα έχουμε 5 μέρες ΜΕΙΟΝ από ένα πολλάπλάσιο του 7 (=Τρίτη) , άρα η ζητούμενη μέρα πέφτει Πέμπτη. Μ'αυτό ακριβώς το γενικό σκεπτικό και δεδομένου οτι το 2012 είναι δίσεκτο, βρίσκουμε και την απάντηση στο i) που είναι Παρασκευή. Λύση Papaveri. i) Η 1η Φεβρουαρίου 2011 μέχρι 31η Ιανουαρίου 2012:364 ημέρες (Δεν συμπεριλαμβάνεται η 1η Φεβρουαρίο.) 1η Φεβρουαρίου 2012 μέχρι 29η Φεβρουαρίου 2012:29 ημέρες 1η Μαρτίου 2012 μέχρι 2η Μαρτίου 2012: 2 ημέρες Σύνολο 395 ημέρες. Διαιρούμε το σύνολο των ημερών με το 7 ημέρες που αποτελούν τη μια εβδομάδα κι’ έχουμε: (395Mod7)=56*7+3, που σημαίνει ότι η 2η Μαρτίου θα είναι 56 εβδομάδες και 3 ημέρες μετά την Τρίτη 1η Φεβρουαρίου 2011, η 2η Μαρτίου 2012 θα είναι ημέρα Παρασκευή. ii)Συμβολίζουμε με «Α» την ημέρα που αντιστοιχεί στη 300η ημέρα του έτους «Ν» Συμβολίζουμε με «Β» την ημέρα που αντιστοιχεί στη 200η ημέρα του έτους «Ν+1» Συμβολίζουμε με «Γ» την ημέρα που αντιστοιχεί στη 100η ημέρα του έτους «Ν-» Εάν το έτος «Ν» δεν είναι δίσεκτο, η ημέρα «Β» είναι (365-300)+200=265 ημέρες μετά την ημέρα «Α». Αλλά (265Mod7)=37*7+6. Άρα η ημέρα «Β» βρίσκεται 37 εβδομάδες και 6 ημέρες μετά την ημέρα «Α», δηλαδή θα έπρεπε να είναι Δευτέρα και όχι Τρίτη, που είναι άτοπο σύμφωνα με την εκφώνηση του προβλήματος. Επομένως το έτος «Ν» είναι δίσεκτο και όχι κοινό, άρα το «Ν-1» δεν είναι δίσεκτο, αλλά κοινό. Με αυτό το δεδομένο η ημέρα «Α» βρίσκεται (365-100)+300=565 ημέρες μετά την ημέρα «Γ». Αλλά (565Mod7)=80*7+5, δηλαδή η ημέρα «Α» βρίσκεται 80 εβδομάδες και 5 ημέρες μετά την ημέρα «Γ», που είναι ημέρα Πέμπτη.