Οι Καμπανες

Δύο καμπάνες αρχίζουν και χτυπούν την ίδια χρονική στιγμή. Η μία κτυπάει κάθε 7/4 του δευτερολέπτου και η άλλη κάθε 4/3 του δευτερολέπτου. Tα χτυπήματα σε χρονικό διάστημα 1/2 του δευτερολέπτου ή και λιγότερο ακούγονται σαν ένα χτύπημα. Πόσα χτυπήματα θα ακούσουμε κατά τη διάρκεια 15 min?

(Κατ.34/Πρβλ. Νο.493)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2012/02/blog-post_2612.html

Λύση

Λύση του N. Lntzs
Η μια καμπάνα, ας την ονομάσουμε Α κτυπά κάθε 7/4 του δευτερολέπτου,
έχει δηλαδή συχνότητα 4/7=16/28 κτύπους ανά δευτερόλεπτο.
Ενώ η άλλη, έστω Β, κτυπά κάθε 4/3 του δευτερολέπτου, έχει δηλαδή
συχνότητα 3/4=21/28 κτύπους ανά δευτερόλεπτο.
Συνεπώς σε 28 sec η Α έχει κάνει 16 κτύπους, ενώ η Β έχει κάνει 21
(χωρίς να μετρήσουμε τον κτύπο της έναρξης, την χρονική στιγμή μηδέν).
Αυτή την χρονική στιγμή (t=28 sec) κτυπούν ταυτόχρονα.
Το φαινόμενο αυτό επαναλαμβάνεται με περίοδο 28 sec.
Από τους 37 (=16+21) κτύπους, που γίνονται στο διάστημα των 28 sec,
μόνο 23 κτύποι γίνονται με διαφορά μεγαλύτερη του 0.5 sec.
Επομένως στα 15 min (=900 sec) το φαινόμενο θα επαναληφθεί 32 φορές
και θα απομείνουν και 4 sec (900=28*32+4).
Συνεπώς στα 896 sec (=32*28) θα ακουσθούν 32*23=736 κτύποι και στα
εναπομείναντα 4 sec θα ακολουθήσουν δύο κτύποι της καμπάνας Α μετά
από 1,75 και 3,5 sec και τρεις κτύποι της καμπάνας Β μετά από
4/3=1,333, 8/3=2,666, και 12/3=4 sec. Από αυτούς θα ακουσθούν
(λόγω διαφοράς μεγαλύτερης του 0.5 sec) ο δεύτερος της Α και οι τρεις
της Β, δηλ στα τελευταία 4 sec θα ακουσθούν τέσσερις κτύποι.
Συνολικά θα ακουσθούν 32*28+4=736+4=740 κτύποι, χωρίς να
καταμετρηθεί ο κτύπος της έναρξης, την χρονική στιγμή μηδέν.