Ο Αριθμός

Υπάρχει ένας αριθμός, ο οποίος σχηματίζεται αθροίζοντας 2 φορές τα ψηφία από τα οποία αποτελείται. Ποιος είναι αυτός o αριθμός; (Κατ.1/Πρβλ. Νο.122)

Λύση

Ο αριθμός 18. Έστω «αβ» ο διψήφιος αριθμός της μορφής 10α+β,
του οποίου αθροίζοντας τα ψηφία του δύο φορές προκύπτει ο
ζητούμενος αριθμός. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του
προβλήματος έχουμε:
10α+β=2*(α+β) --> 10α+β=2α+2β --> 10α-2α=2β-β --> β=8α (1)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την
διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "α" τις τιμές από
το 1 έως το 9, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί
τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "β" είναι ο αριθμός 1 και
μόνο, διότι οποιοσδήποτε άλλος αριθμός δοθεί προκύπτει
τριψήφιος αριθμός. Αντικαθιστούμε τη τιμή του «α» στην (1) κι’
έχουμε:
β=8α --> β=8*1 --> β=8 (2)
Επαλήθευση:
10α+β=2*(α+β) --> 10*1+8=2*(1+8) --> 10+8=2*9 --> 10+8=18 ο.ε.δ.