Ένας αρχαίος Ρωμαίος γαιοκτήμονας είχε στην ιδιοκτησία του έναν πορτοκαλεώνα στoν οποίον εργάζονταν 100 δούλοι. Την ημέρα των γάμων της κόρης του αποφάσισε να ελευθερώσει έναν απ’ αυτούς. Επειδή όμως δεν ήξερε ποιον να διαλέξει τους έβαλε την παρακάτω δοκιμασία:
Κάθε δούλος θα έπαιρνε ένα καλάθι και θα έβαζε μέσα όσα πορτοκάλια ήθελε. Στη συνέχεια θα περνούσε από τρεις πύλες που θα τον οδηγούσαν τελικά έξω από τον πορτοκαλεώνα. Σε κάθε πύλη θα άφηνε στους φρουρούς της από όσα πορτοκάλια είχε τα μισά και μισό ακόμη, χωρίς να κόψει όμως κανένα πορτοκάλι. Ο πρώτος που περνώντας και από την τελευταία πύλη θα είχε πλέον ένα μόνο πορτοκάλι στο καλάθι του, θα ελευθερωνόταν και θα έπαιρνε και 100 σηστέρσια = 25 δηνάρια (Ρωμαϊκά νομίσματα. Ένα σηστέρσιο ήταν ισοδύναμο με 1/4 του δηναρίου.).
Με πόσα πορτοκάλια πρέπει να ξεκινήσει ένας δούλος για να ελευθερωθεί;
(Κατ.34/Πρβλ. Νο.487)
ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΔΥΟ ΛΥΣΕΙΣ
Πηγή:mathslife.eled
Λύση
Πρώτη λύσηΑφού ο δούλος δε θα κόψει πορτοκάλι για να αφήσει τα μισά και μισό
σε κάθε πύλη θα πρέπει έτσι να συμπληρώνεται ακέραιος αριθμός
πορτοκαλιών, άρα τα μισά πορτοκάλια θα πρέπει να περιλαμβάνουν και
μισό πορτοκάλι.Επομένως φθάνοντας σε κάθε πύλη θα έχει μαζί του μονό
(περιττό) αριθμό πορτοκαλιών και θα αφήνει στους φρουρούς της ένα
παραπάνω πορτοκάλι από όσα θα παίρνει μαζί του. Έτσι:
Για να φύγει από την τρίτη πύλη με 1 πορτοκάλι πρέπει να αφήσει στους
φρουρούς της 2 και να φτάσει σ’ αυτή με 3.
Για να φύγει από τη δεύτερη πύλη με 3 πορτοκάλια πρέπει να αφήσει
στους φρουρούς της 4 και να φτάσει σ’ αυτή με 7.
Για να φύγει από την πρώτη πύλη με 7 πορτοκάλια πρέπει να αφήσει στους
φρουρούς της 8 και να φτάσει σ’ αυτή με 15.
Δηλαδή για να ελευθερωθεί ένας δούλος πρέπει να αρχικά να βάλει στο
καλάθι του 15 πορτοκάλια.
Δεύτερη λύση
Ξεκινάμε από το τέλος.
Περνώντας από την τελευταία πύλη, ο δούλος πρέπει να έχει 1 πορτοκάλι.
Αν έδινε τα μισά ακριβώς πορτοκάλια θα του έμεναν στο τέλος 1 και μισό
πορτοκάλια. Άρα φτάνοντας σ’ αυτή πρέπει να έχει στο καλάθι του τα
διπλάσια δηλαδή 3.
Επομένως περνώντας τη δεύτερη πύλη πρέπει να έχει 3 πορτοκάλια.
Αν και σ’ αυτή έδινε ακριβώς τα μισά θα του έμεναν στο καλάθι του 3,5
πορτοκάλια. Άρα φτάνοντας πρέπει να έχει τα διπλάσια δηλαδή 7.
Με το ίδιο σκεπτικό, φτάνοντας στην πρώτη πύλη πρέπει να έχει το
διπλάσιο του 7,5 δηλαδή 15 πορτοκάλια.
Άρα, για να ελευθερωθεί ένας δούλος, πρέπει να ξεκινήσει με 15
πορτοκάλια στο καλάθι του.
Αναρτήσεις
4 σχόλια:
Ας το πάμε από το τέλος στην αρχή:
Όταν ο δούλος περάσει και την τελευταία από τις 3 πύλες τότε πρέπει να έχει 1 πορτοκάλι .Άρα στην πρίν περάσει την τρίτη πύλη είχε 3 πορτοκάλια αφού έδωσε τα μισά απ όσα είχε (άρα του μένει 1,5) και άλλο μισό (με την απαίτηση να μη κόψει κάποιο πορτοκάλι) άρα δίνει 2 συνολικά(ακέραιος αριθμός άρα είμαστε οκ όσον αφορά την απαίτηση να μη κοπεί κανένα)
Με την ίδια λογική πριν περάσει τη 2η πύλη θα έπρεπε να είχε 7 πορτοκάλια αφού στη 2η δίνει τα μισά(άρα του μένουν 3,5) και άλλο μισό(άρα του μένουν 3 που είναι ακέραιος).
Τέλος πριν περάσει την 1η πύλη θα πρέπε να έχει 15 πορτοκάλια αφού δίνει τα μισά(του μένουν 7,5) και άλλο μισό άρα του μένουν τελικά 7(ακέραιος)
Η άλλη λύση που ζητάς είναι η αλγεβρική?
@batman1986
Αυτή είναι η μια από τις δύο λύσεις. Η άλλη είναι αντίστροφη. Από τη πρώτη πύλη προς τη τρίτη.
Α εντάξει δεν έχει νόημα να την αναλύσω.Το ίδιο πράγμα είναι ουσιαστικά...
@batman1986
Εντάξει. Θ'αναρτήσω τη λύση.
Δημοσίευση σχολίου