Οι Διαδοχικοί Αριθμοί

Το άθροισμα επτά αλληλοδιαδόχων αριθμών ισούται με 126. Ποιοι είναι οι διαδοχικοί αυτοί αριθμοί; Υπάρχουν τρεις τρόποι για να λυθεί το πρόβλημα. Να βρεθούν και οι τρεις τρόποι.(Κατ.3/Πρβ. Νο.3)

Λύση

Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε:
α΄Τρόπος Λύσης
α+(α+1)+ (α+2)+ (α+3)+ (α+4)+ (α+5)+(α+6)=126 (1)
α+α+1+α+2+α+3+α+4+α+5+α+6=126
7α+21=126 --> 7α=126-21 --> α=105/7 --> α=15 (2)
Αντικαθιστούμε την (2) στην (1) κι’ έχουμε:
α+(α+1)+ (α+2)+ (α+3)+ (α+4)+ (α+5)+(α+6)=126
15+(15+1)+(15+2)+ (15+3)+ (15+4)+ (15+5)+(15+6)=126
Άρα η σειρά είναι:15+16+17+18+19+20+21=126 ο.ε.δ.
β΄Τρόπος Λύσης
Βάσει του τύπου του αθροίσματος της αριθμητικής προόδου Σο=[(α+τ)*ν]/2
έχουμε:
Σο= Συνολικό άθροισμα της αριθμητικής προόδου.
α = Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου.
τ = Ο τελευταίος όρος της αριθμητικής προόδου.
ν = Το πλήθος των όρων της αριθμητικής προόδου.
Σο=[(α+τ)*ν]/2-->126=[(α+τ)*7]/2-->
(α+τ)=(126*2)/7=252/7-->(α+τ)=36-->α=(36-τ)(1)
και τ=(36-α)(2)
Από το τύπο τ =[α+[(ν-1)*ω]] της αριθμητικής προόδου βρίσκουμε
το πρώτο και το τελευταίο αριθμό της αριθμητικής σειράς.
τ = Ο τελευταίος όρος της αριθμητικής προόδου.
α = Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου.
ν = Το πλήθος των όρων της αριθμητικής προόδου.
ω = Ο λόγος. Ο σταθερός αριθμός, ο οποίος προστίθεται εις έναν
όρο δια να δώσει τον επόμενο.
Αντικαθιστούμε τη (2) στον ανωτέρω τύπο όπου βρίσκουμε το πρώτο όρο
της αριθμητικής σειράς:
τ=[α+[(ν-1)*ω]]-->36-α=[α+[(7-1)*1]]-->36-α=α+6-->
36-6=α+α-->2α=30-->α=30/2-->α=15
Άρα η σειρά είναι 15+16+17+18+19+20+21=126 ο.ε.δ.
γ΄Τρόπος Λύσης
Διαιρούμε το συνολικό άθροισμα με το πλήθος των όρων της σειράς και το
πηλίκο μας δίνει το μεσαίο αριθμό της σειράς, δηλαδή 126:7=18.
Για να συμπληρώσουμε τη σειρά επιλέγουμε 3 αριθμούς προς τ’ αριστερά
κατά τη φθίνουσα σειρά και 3 αριθμούς προς τα δεξιά κατά την αύξουσα
σειρά κι έχουμε: 15+16+17+18+19+20+21 =126 ο.ε.δ.