Τα Στρατιωτάκια

Ο Ανδρέας και ο Λουκάς έχουν και οι δύο μαζί 376 στρατιωτάκια.

Εάν διαιρέσουμε τον αριθμό των στρατιωτών του Ανδρέα με τον
αριθμό των στρατιωτών του Λουκά βρίσκουμε πηλίκο 11 και ένα
υπόλοιπο που είναι το μεγαλύτερο δυνατόν. Πόσα στρατιωτάκια
έχει ο καθ’ ένας; (Κατ.34/Πρβ. Νο.34)

Λύση

Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε:
α + β =376(1)
Βάσει του τύπου Δ=(δ * π) + υ της διαιρέσεως έχουμε:
α =(β*11)+(β-1)(2)
Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) κι’ έχουμε:
α + β =376 --> (β*11)+(β-1)+β=376 --> 11β+β-1+β=376 --> 13β=376+1 -->
13β=377 --> β=377/13 --> β=29
Αντικαθιστούμε τη τιμή του "β" στην (1) κι’ έχουμε:
α + β =376 --> α+29=376 --> α=376-29 --> α=347
Άρα, ο Ανδρέας έχει 347 στρατιωτάκια και ο Λουκάς 29 στρατιωτάκια.
Επαλήθευση:
α + β =376 --> 347+29=376
α =(β*11)+(β-1)--> 347=(29*11)+(29-1)--> 347=319+28--> 347=347 ο.ε.δ.
Ή
Επειδή το υπόλοιπο από τη διαίρεση του αριθμού "α" με τον αριθμό
"β" είναι το μέγιστο δυνατόν, πρέπει να είναι ίσο με το διαιρέτη
πλην ένα, δηλαδή υ = β-1.
Αν λοιπόν τα στρατιωτάκια ήσαν 377, ο αριθμός "α" θα διαιρούταν
από τον αριθμό "β" και το πηλίκο θα ήταν 12. Πρέπει λοιπόν να
βρεθούν δύο αριθμοί, που ο πρώτος να περιέχει 12 φορές το δεύτερο
αριθμό, δηλαδή α=12*β και το άθροισμά τους να ισούται με 377.
Επομένως:
α+β=377 (1)
α/β=12 (2)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
α/β=12 --> α=12*β (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
α+β=377 --> 12β+β=377 --> 13β=377 --> β=377/13 --> β=29
Αντικαθιστούμε τη τιμή του "β" στην (1) κι’ έχουμε:
α+β=377 --> α+29=377 --> α=377-29 --> α=348
Επαλήθευση:
α+β=377 --> 348+29=377
α/β=12 --> 348/29=12   ο.ε.δ.