ΠΑΣΧΑ 2016!!

"Η προσαγωγή του Χριστού ενώπιον του Πιλάτου, όπου καταδικάζεται σε σταυρικό θάνατο."

Η ιστοσελίδα του "Papaveri48" εύχεται σε όλους τους φίλους της ιστοσελίδας Καλή Ανάσταση και Καλό Πάσχα!!

Το Λάθος

Κατά την περίοδο των εκπτώσεων ένας έμπορος ρούχων ζήτησε από την υπάλληλο  του να μειώσει τις τιμές των 1.000 κομματιών διαφόρων ρούχων που είχε στο μαγαζί του κατά 20%. Η υπάλληλος όμως έκανε λάθος, και αντί να μειώσει τις τιμές των ρούχων κατά 20%, μείωσε τις τιμές των ρούχων κατά 20 €. Με τον τρόπο αυτό ο έμπορος θα ζημιώνονταν, εάν πουλούσε όλα τα ρούχα, κατά 8.000 €. Ποια ήταν η αρχική μέση αξία των 1.000 κομματιών; (Κατ.34)
Πηγή:Περιοδικό «Απολλώνιος», τεύχος #4

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2016/04/20-vs-20.html

Λύση

Λύση του μαθηματικού Νίκου Λέντζου.
H μείωση που θα έκανε ο υπάλληλος θα ήταν:
20 x 1.000 = 20.000 ευρώ
και θα προξενούσε ζημία 8.000 ευρώ, αυτό σημαίνει ότι από την πώληση όλου του εμπορεύματος η έκπτωση θα ήταν:
20.000 - 8.000 =12.000 ευρώ.
Αν «Α» ήταν η αρχική η αξία όλου του εμπορεύματος τότε:
Αx20%=12.000 ευρώ ή Α = 60.000 ευρώ
Η μέση τιμή Τ κάθε κομματιού είναι:
Τ= 60.000:1000 = 60ευρώ.
Συνοπτικά:
Κομμάτια: 1.000
Μέση τιμή Τ κάθε κομματιού: 60 ευρώ.
Αρχική αξία εμπορευμάτων: 60.000 ευρώ.
Συνολική έκπτωση του εμπορεύματος (20%): 12.000 ευρώ.
Μείωση τιμής πώλησης 20 ευρώ/τμχ = 20.000 ευρώ.
Ζημία: 20.000-12.000 = 8.000 ευρώ.

Η Εργασία

Ο Ανδρέας και ο Βασίλης είναι ελαιοχρωματιστές και συγχρόνως φίλοι και

συνέταιροι.Δουλεύουν  πάντα μαζί. Ο Ανδρέας για να βάψει ένα σπίτι χρειάζεται

10 ημέρες και ο Βασίλης για να τελειώσει την ίδια  εργασία χρειάζεται  15 ημέρες.

Ανέλαβαν να βάψουν ένα σπίτι. Ο Ανδρέας εργάσθηκε  μόνος του για  4 ημέρες

και μετά αποχώρησε για κάποιο λόγο. Πόσες μέρες θα  χρειαστεί ο Βασίλης για να  

τελειώσει το υπόλοιπο μέρος της εργασίας αυτής; (Κατ.34)

Πηγή:Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II, 2016

Λύση

Ο Ανδρέας σε μία μέρα τελειώνει το 1/10 της εργασίας, άρα σε 4 ημέρες τελειώνει τα 4/10=2/5 της εργασίας. Όταν ο Ανδρέας αποχωρεί, απομένουν τα 6/10 =3/5 της εργασίας. Αφού ο Βασίλης τελειώνει σε μία ημέρα το 1/15 της εργασίας, για να τελειώσει το υπόλοιπο της εργασία που απέμεινε θα χρειαστεί:
[(3/5)*15]=45/5=9 ημέρες για να ολοκληρώσει την εργασία αυτή.

Οι Τιμές

Οι αριθμοί 203 και 298 διαιρούμενοι με το θετικό ακέραιο «x» δίνουν και οι δυο υπόλοιπο 13. Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του «x»; (Κατ.34)

Πηγή:http://www.cms.org.cy/assets/files/Pagkiprios%202013/Pagkiprios%20A%20Gimnasiou%202013%20Liseis.pdf

Λύση

Οι δυνατές τιμές του «χ» είναι (χ=19) και (χ=95). Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις:
203 = χ*κ +13 (1)
298 = χ*λ +13 (2)
Όπου κ, και λ θετικοί ακέραιοι..
Από την (1) συνάγουμε ότι:
203 = χ*κ +13 ---> χ*κ=203-13 ---> χ*κ=190 (3)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
298 = χ*λ +13 ---> χ*λ=298-13 ---> χ*λ=285 (4)
Επομένως ο χ είναι κοινός διαιρέτης των 190 και 285. Επειδή Μ.Κ.Δ.(190, 285) = 5,. 19 , οι δυνατές τιμές του χ είναι οι διαιρέτες του (190, 285), δηλαδή οι 1, 5, 19 και 95. Όμως, εξ υποθέσεως, πρέπει χ>13, οπότε τελικά θα είναι: χ =19 ή χ = 95.
Αντικαθιστούμε τις τιμές του «χ» 19 και 95 στη (3) κι’ έχουμε:
χ*κ=190 ---> 19*κ=190 ---> κ=190/19 ---> κ=10 (5)
χ*κ=190 ---> 95*κ=190 ---> κ=190/95 ---> κ=2 (6)
Αντικαθιστούμε τις τιμές του «χ» 19 και 95 στη (4) κι’ έχουμε:
χ*λ=285 ---> 19*λ=285 ---> λ=285/19 ---> λ=15 (7)
χ*λ=285 ---> 95*λ=285 ---> λ=285/95 ---> λ=3 (8)
Επαλήθευση:
203 = χ*κ +13 ---> 203=19*10+13 ---> 203=190+13
203 = χ*κ +13 ---> 203=95*2+13 ---> 203=190+13
298 = χ*λ +13 ---> 298=19*15+13 ---> 298=285+13
298 = χ*λ +13 ---> 298=95*3+13 ---> 298=285+13
Λύση του μαθηματικού Νίκου Λέντζου:
[Ταυτότητα της Ευκλείδειας: Δ=δ*π+υ με υ=0,1,2,...,(δ-1)]
203=α*χ+13 ---> α*χ=203-13 ---> α*χ=190 ---> α=190/χ με "χ" μεγαλύτερο του 14
298=β*χ+13 ---> β*χ=298-13 ---> β*χ=285 ---> β=285/χ με "χ"μεγαλύτερο του 14
Αναζητούμε τους κοινούς και μεγαλύτερους του 14 διαιρέτες των 190 και 285. Αλλά 190=2*5*19 και 285=3*5*19 με κοινούς και μεγαλύτερους του 14 διαιρέτες τους αριθμούς: 19 και 45 οι οποίοι είναι και οι δυνατές τιμές του "χ".

Οι Αριθμοί

Πόσοι και ποιοι τετραψήφιοι αριθμοί έχουν άθροισμα ψηφίων 34; (Κατ.34)

Πηγή:http://www.cms.org.cy/assets/files/Eparxiakos%202013/E%20Demotikou%20Eparxiakos%20Solutions%202013-14.pdf

Λύση

Ο αριθμός 34 σχηματίζεται από τ’ αθροίσματα (16+18) και (17+17). Αναλυτικά:
α)34= 16+18=[(9+7=16)+(9+9=18)]. Άρα έχουμε: 9997, 9979, 9799, και 7999.
β)34=17+17=[(9+8=17)+(9+8=17)]. Άρα έχουμε: 8899, 9898, 8989, 9988, 8998, και 9889.

Οι Καραμέλες ΙΙΙ

Δύο φίλοι, ο Γιάννης και ο Βαγγέλης, έχουν ένα κουτί με καραμέλες. Ο Γιάννης παίρνει από το κουτί κάποιες καραμέλες, και από αυτές που πήρε κρατάει τα 3/4 και τις υπόλοιπες, από αυτές που πήρε, τις δίνει στο Βαγγέλη. Στη συνέχεια ο Βαγγέλης παίρνει τις υπόλοιπες καραμέλες που έμειναν στο κουτί, κρατάει το 1/12 και δίνει στο Γιάννη τις υπόλοιπες. Αν σε κάθε μοιρασιά ο καθένας παίρνει ακέραιο αριθμό από καραμέλες και τελικά οι καραμέλες του Γιάννη είναι εξαπλάσιες από τις καραμέλες του Βαγγέλη, να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό από καραμέλες που μπορεί να περιέχει το κουτί. (Κατ.34)

Πηγή:76ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ “Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ”

Λύση

Έστω ότι το Γιάννης παίρνει «γ» καραμέλες από τις οποίες κρατάει τα 3γ/4 και δίνει στο Βαγγέλη τα γ/4. Επειδή ο καθένας έχει ακέραιο αριθμό καραμελών σε αυτή τη μοιρασιά, πρέπει το «γ» να είναι πολλαπλάσιο του 4.
Έστω ότι ο Βαγγέλης παίρνει «β» καραμέλες, κρατάει τα β/12 και δίνει στο Γιάννη τα 11β/12. Επειδή ο καθένας έχει ακέραιο αριθμό καραμελών σε αυτή τη μοιρασιά, πρέπει το «β» να είναι πολλαπλάσιο του 12.
Ο Γιάννης, λοιπόν, έχει:
(3γ/4)+(11β/12)=(3*3γ+11β)/12= (9γ+11β)/12 καραμέλε.
Και ο Βαγγέλης, έχει:
(γ/4)+(β/12)= (3γ+β)/12 καραμέλες.
Αφού ο Γιάννης θα έχει τελικά εξαπλάσιες καραμέλες από το Βαγγέλη έχουμε την εξίσωση:
(9γ+11β)=6*(3γ+β) (1)
(9γ+11β)=6*(3γ+β) ---> 9γ+11β=18γ+6β ---> 11β-6β=18γ-9γ ---> 5β=9γ (2)
Διερεύνηση:
Οι ελάχιστοι θετικοί ακέραιοι που ικανοποιούν τις παραπάνω συνθήκες είναι γ=20 και β=36, οπότε το κουτί περιέχει τουλάχιστον καραμέλες.
Επαλήθευση:
(9γ+11β)=6*(3γ+β) ---> 9*20+11*36=6*(3*20+36) ---> 180+396=6*(60+36) ---> 576=6*96
5β=9γ ---> 5*36=9*20 ---> 180=9*20

Η Έρευνα

Για την εκτέλεση ενός μεγάλου ερευνητικού έργου στο προαπαιτούμενο χρονικό όριο, ξεκίνησαν να εργάζονται συνολικά 500 ερευνητές. Όταν τελείωσε στην ώρα του το 1/4 του έργου, αποχώρησαν 100 ερευνητές, οπότε το δεύτερο τέταρτο του έργου ολοκληρώθηκε με καθυστέρηση. Αποχώρησαν όμως τότε και άλλοι 100 ερευνητές, οπότε το τρίτο τέταρτο του έργου ολοκληρώθηκε με επιπλέον καθυστέρηση. Πόσοι ερευνητές πρέπει να προσληφθούν, ώστε το έργο να τελειώσει στον  προγραμματισμένο χρόνο. 
Διευκρίνιση: 
Υποθέτουμε ότι όλοι οι ερευνητές που εργάστηκαν και εργάζονται, αλλά και 
αυτοί που θα προσληφθούν, δούλευαν και δουλεύουν με την ίδια απόδοση. (Κατ.34)

Πηγή: 76ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ “Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ”

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου
Αφού στο 1ο τέταρτο του έργου δούλεψαν όλοι οι ερευνητές, το έργο ολοκληρώθηκε στην ώρα του και έστω ότι χρειάστηκαν χρόνο t, άρα όλο το έργο είχε προγραμματισθεί για χρόνο 4t . Στο 2ο τέταρτο του έργου σε χρόνο t πραγματοποιήθηκε το 400/500=4/5 του προγραμματισμένου, άρα για την ολοκλήρωση του 2ου τέταρτου χρειάσθηκε χρόνος 5t/4. Στο 3ο τέταρτο του έργου σε χρόνο t πραγματοποιήθηκε το 300/500=3/5 του προγραμματισμένου, άρα για την ολοκλήρωση του 3ου τέταρτου χρειάσθηκε χρόνος 5t/3. Άρα για τα 3/4 όλου του έργου ο χρόνος είναι t*(1+5/4+5/3)=47t/12, άρα απομένει χρόνος 4t-47t/48= (48-47)t/12=t/12, άρα χρειάζονται, για την εκτέλεση του 4ου τέταρτου, 12*500=6.000 ερευνητές, άρα χρειάζεται να προσληφθούν 6.000-300=5.700 ερευνητές.
Λύση του Ανώνυμος
Για το 1ο τέταρτο εργάστηκαν 500=Ψ ερευνητές και χρειάστηκαν χρόνο Χ. Για το 2ο τέταρτο εργάστηκαν 4Ψ/5 και επομένως χρειάστηκαν χρόνο 5Χ/4. Για το 3ο τέταρτο εργάστηκαν 3Ψ/5 και επομένως χρειάστηκαν χρόνο 5Χ/3. Για το 4ο τέταρτο διαθέτουν χρόνο 3Χ-5Χ/4-5Χ/3=(36Χ-15Χ-20Χ)/12=Χ/12 και χρειάζονται συνεπώς 12Ψ=12*500=6.000 ερευνητές, θα πρέπει δηλαδή να προσληφθούν 6.000-300=5.700 ερευνητές.