Σχέδιο Νίκης

Στον πίνακα είναι γραμμένοι όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 1 έως το 500.
Δύο μαθητές ο «Α» και ο «Β» παίζουν το εξής παιχνίδι:
«Με τη σειρά διαγράφουν ο ένας μετά τον άλλο από έναν αριθμό. Το 
παιχνίδι τελειώνει όταν στον πίνακα απομείνουν δύο αριθμοί.»
Εάν το άθροισμα των αριθμών που απομένουν διαιρείται με το 3, νικητής 
είναι ο «Β».
Εάν το άθροισμα των αριθμών που απομένουν δεν διαιρείται με το 
3,νικητής είναι ο «Α».
Εάν ο «Α» αρχίσει πρώτος, ο «Β» μπορεί να διμηουργήσει μια στρατηγική 
νίκης; (Κατ.3/Νο.27) 
Πηγή:Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Αρχιμήδης 2001"
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2011/04/blog-post_6264.html

Λύση

Λύση του Γ Ριζόπουλου. Σο=[(α+τ)*ν]/2 --> Σο=[(1+500)500]/2 --> Σο=(500*501)/2=125250=0mod3. Υπάρχουν 250 ζεύγη με άθροισμα 501: (1+500=501), (2+499=501),(3+498=501),...,(250+251=501), 501/3=167 =0mod3. Oπότε ο «Β» παίκτης έχει νικητήρια στατηγική επιλέγοντας το ταίρι σε κάθε ζεύγος. Ο «Α» επιλέγει δηλαδή οποιονδήποτε αριθμό «κ» , και ο «Β» επιλέγει τον «501-κ», αφήνοντας το άθροισμα αμετάβλητο «mod3», δηλαδή, «0mod3». Π.χ. Εάν ο «Α» διαγράψει τον αριθμό 3 , ο «Β» διαγράφει τον αριθμό 498 (500-3=498), κ.λ.π. Λύση του Ε. Αλεξίου. 1+2+3+..+500=125250, 125250=0 mod 3, 500/3=166.6666, άρα υπάρχουν 166 αριθμοί που διαιρούνται με το 3(0mod3) και συνεπώς 167 αριθμοί 1mod3(166αρ και το 1) και 167 αριθμοί 2mod3(166 αρ. και το 2) Με βάση τα παραπάνω δεδομένα και το ότι ο «Β» παίζει 2ος ακολουθεί την παρακάτω στρατηγική: Aνάλογα με τον αριθμό που θα διαγράφει ο «Α», ο «Β» θα διαγράφει αριθμό έτσι που το άθροισμα των υπόλοιπων αριθμών να είναι 0 mod 3, πχ αν ο «Α» αριθμό 0 mod 3 o «Β» διαγράφει επίσης 0 mod 3, αν ο «Α» διαγράψει 1 mod 3 ή 2 mod 3 ο «Β» θα διαγράψει 2 mod 3 ή 1 mod 3 αντίστοιχα, έτσι οι 2 τελευταίοι αριθμοί ή θα είναι και οι δύο 0 mod 3, άρα άθροισμα 0 mod3 + 0 mod 3 = 0 mod 3 ή ένας 1 mod 3 και ένας 2 mod 3, άρα άθροισμα 1 mod3 + 2 mod 3 =3 mod 3=0 mod 3. Σε κάθε περίπτωση ο «Β» είναι ο νικητής.

Τα Σκαλιά

Ένας νεαρός κατεβαίνει μία κυλιόμενη σκάλα, ενός εμπορικού κέντρου, αφού έχει πατήσει 50 σκαλιά. Στη συνέχεια ανεβαίνει ένα ένα τα σκαλιά αλλά πιο γρήγορα και φτάνει πάνω αφού έχει πατήσει 125 σκαλιά. Αν υποθέσουμε ότι ανέβηκε 5 φορές πιο γρήγορα από ότι κατέβηκε, τότε πόσα σκαλιά είναι ορατά όταν η σκάλα δεν βρίσκεται εν κινήσει? (Κατ.34/Νο.701)

Πηγή:Martin Gardner

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2011/04/blog-post_5858.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Εκατό σκαλιά είναι ορατά όταν η σκάλα δεν βρίσκεται εν κινήσει. Eστω x το ζητούμενο (ορατά σκαλιά σε στάση) Έστω ρ ο ρυθμός (αριθμός σκαλιών ανά δευτερόλεπτο)της σκάλας όταν κινείται. Εστω t o xρόνος για να ανέβει.Ο χρόνος καθόδου του είναι διπλάσιος 2t. έχουμε: Στην κάθοδο: x-2ρt=50 (1) (Στην κάθοδο, ο αριθμός σκαλιών που κατεβαίνει ισούται με τον αριθμό των σκαλιών σταματημένου, πλην τον αριθμό σκαλιών που κινούνται σε χρόνο 2t) Στην άνοδο: x+ρt=125 (2) Στην άνοδο ο αριθμός σκαλιών που κάνει είναι τα σταματημένα σύν τα κινούμενα σε χρόνο t. Άρα έχουμε: x-2ρt=50 (1) x+ρt=125 --> 2(x+ρt)=125*2 --> 2x+2ρt =250 (3) Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και (3), κι’ έχουμε: 3x=300 --> x=300/3 --> x=100 σκαλιά ορατά σε στάση. Λύση του Ε. Αλεξίου. Εκατό σκαλιά είναι ορατά όταν η σκάλα δεν βρίσκεται εν κινήσει. Αν Κ τα σκαλιά σε ηρεμία, Χ η ταχύτητα του νεαρού στην κάθοδο άρα 5Χ στην άνοδο και Υ η ταχύτητα της σκάλας, τότε 50/X =(K-50)/Y (1) 125/(5X) =(125-K)/Y (2) Από την (1) συνάγουμε ότι: (Κ-50)Χ=50Υ --> ΚΧ-50Χ=50Υ (3) Από τη (2) συνάγουμε ότι: 125/(5X) =(125-K)/Y --> 25/Χ=(125-Κ)/Υ --> (125-Κ)Χ=25Υ (4) Στην άνοδο ο αριθμός σκαλιών που κάνει είναι τα σταματημένα σύν τα κινούμενα σε χρόνο t. Άρα έχουμε: (125-Κ)Χ=25Υ --> 2*(125-Κ)Χ=2*25Υ --> (250-2Κ)Χ=50Υ --> 250Χ-2ΚΧ=50Υ (5) Αφαιρούμε κατά μέλη από τη (5) τη (3), κι’ έχουμε: (250Χ-2ΚΧ=50Υ)-(ΚΧ-50Χ=50Υ)--> 250Χ-2ΚΧ-ΚΧ+50Χ=50Υ-50Υ -->-3ΚΧ+300Χ=0 --> 3ΚΧ=300Χ --> Κ=300Χ/3Χ --> Κ=100 σκαλιά Και η ταχύτητα του νεαρού με τη ταχύτητα της σκάλας είναι ίση (Χ=Υ).

Η Γιορτή

Σε μια γιορτη συμμετείχαν 43 άτομα από 7 παρέες και των δύο φύλων. Υπήρχε στη γιορτη μία τουλάχιστον παρέα με 4 άτομα του ίδιου φύλου; (Κατ.27/Νο.385)

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Έστω ότι δεν υπάρχει, τότε η κάθε παρέα από τις 7 θα έχει το πολύ 3Α και 3Γ, 3+3=6, 6*7=42 το πολύ άτομα, άτοπο αφού όλα τα άτομα είναι 43, άρα μία παρέα τουλάχιστον θα έχει 4 άτομα του ιδίου φύλου. Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Από την Αρχή του Περιστερώνα (Schubfachprinzip)προκύπτει πως μία τουλάχιστον παρέα είχε τουλάχιστον 7 άτομα. (6*7=42 μικρότεροτου 43) Αυτή η παρέα έχει (με βάση την ίδια αρχή) 4 τουλάχιστον άτομα του ίδιου φύλου (2*3=6μικρότερο του 7). Λύση του Papaveri. Ναί, υπήρχε. Τα 42 άτομα αναλύονται σε 7 παρέες των 6 ατόμων (τρεις άνδρες και τρεις γυναίκαις). Το ένα άτομο που περισσεύει μπορεί να είναι ή άνδρας ή γυναίκα, οπότε ανάλογα μπορεί να σχηματιστεί μια παρέα του ιδίου φύλου από τέσσερα άτομα από άνδρες ή από γυναίκες (4άνδρες+3γυναίκες ή 4γυναίκες+3άνδρες).

Η Δεξαμενή

Πέντε βάνες φέρνουν νερό σε μία δεξαμενή. Εάν είναι ανοιχτή μόνο η πρώτη βάνα η δεξαμενή γεμίζει στο 1/3 της ημέρας. Εάν είναι ανοιχτή μόνο η δεύτερη βάνα τότε η δεξαμενή γεμίζει σε 1 ημέρα. Εάν είναι ανοιχτή μόνο η τρίτη βάνα η δεξαμενή γεμίζει σε 2 και 1/2 ημέρες. Εάν είναι ανοιχτή μόνο η τέταρτη βάνα  η δεξαμενή γεμίζει σε 3 μέρες. Και εάν είναι ανοιχτή μόνο η πέμπτη βάνα η δεξαμενή γεμίζει σε σε 5 ημέρες. Σε πόσο χρόνο θα γεμίσει η δεξαμενή, εάν είναι ανοιχτές συγχρόνως και οι πέντε βάνες; (Κατ.34/Νο.700) Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2011/04/blog-post_8090.html

Λύση

Η δεξαμενή θα γεμίσει σε 4ωρ. 51,89΄ λεπτά και 53,51΄΄ λεπτά. Έστω «ω» οι ώρες που χρειάζεται η δεξαμενή για να γεμίσει. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε: Η πρώτη βάνα γεμίζει ανά ημέρα τα 3/1 της δεξαμενής, η δεύτερη βάνα γεμίζει ανά ημέρα το 1/1 της δεξαμενής, η τρίτη βάνα γεμίζει ανά ημέρα τα 2/5 της δεξαμενής, η τέταρτη βάνα γεμίζει ανά ημέρα το 1/3 της δεξαμενής, και η πέμπτη βάνα γεμίζει ανά ημέρα το 15 της δεξαμενής αντίστοιχα. Άρα και οι πέντε βάνες μαζί τη γεμίζουν σε μια ημέρα(24ώρες): ω*(3/1+1/1+2/5+1/3+1/5)=1ημέρα. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π., που είναι Ε.Κ.Π.(3,5)=3*5=15, κι’ έχουμε: [(3*15)+(1*15)+(2*3)+(1*5)+(1*3)]*ω=1*15 --> (45+15+6+5++3)*ω=15 -> 74*ω=15 --> ω=15/74 της ημέρας. Μετατρέπουμε τα 15/74 της ημέρας σε ώρες. Η μια ημέρα έχει 24 ώρες, οπότε έχουμε: (15/74)*24ω.=360/74= 4,8648648648648648648648648648649ω. Μετατρέπουμε τα 0,8648648648648648648648648648649 της ώρας σε πρώτα λεπτά. Η μία ώρα έχει 60΄ λεπτά, οπότε έχουμε: 0,8648648648648648648648648648649*60΄=51,89189189189189189189189189184΄ Μετατρέουμε τα πρώτα λεπτά σε δεευτερόλεπτα. Το ένα λεπτό έχει 60΄΄λεπτά, οπότε έχουμε: 0,89189189189189189189189189184*60΄΄=53,5135135135135135135135135104΄΄ Άρα για να γεμίσει η δεξαμενή χρειάζεται ακριβώς:4ωρ. 51,89΄ λεπτά και 53,51΄΄ λεπτά.

Rebus No.195 (10)

Λύση

Πεντηκοστή* [Πεντ(ε)ηκοστη(Εικοστή=Πέντε στην Εικοστή)] *Επιφοίτηση του Αγίου Πνεύματος στους Αποστόλους πενήντα ημέρες μετά την Ανάσταση του Ιησού Χριστού(Πράξεις β' 1-41). Η εορτή αυτή αντιστοιχεί με την επίσης μεγάλη ετήσια εορτή των Ιουδαίων η οποία στις Εβραϊκές Γραφές (Παλαιά Διαθήκη) αποκαλείται Γιορτή του Θερισμού ή Γιορτή των Εβδομάδων. (Έξοδος 23:16, 34:22), η οποία ήταν καθαρά γεωργική εορτή με τελείως διαφορετικό περιεχόμενο. Την ημέρα της Πεντηκοστής έλαβε χώρα η επιφοίτηση του Αγίου Πνεύματος στους 120 μαθητές (περιλαμβανομένων και των αποστόλων του Ιησού) οπότε, σύμφωνα με τις Πράξεις των Αποστόλων, έλαβαν Άγιο Πνεύμα μιλώντας σε ξένες γλώσσες (γλωσσολαλιά) «για τα θαυμαστά έργα του Θεού», γεγονός που έγινε αντιληπτό από Ιουδαίους και προσήλυτους που ήταν στην Ιερουσαλήμ για τη γιορτή των Εβδομάδων. Ως αποτέλεσμα, έπειτα και από το κήρυγμα του Πέτρου, βαφτίστηκαν εκείνη την ημέρα 3.000 νέα μέλη της χριστιανικής εκκλησίας. (Πράξεις 1:13-15• 2:1-41) Εκείνη η ημέρα ήταν 50 ημέρες μετά την ανάσταση του Ιησού Χριστού που συνέπεσε στις 16 Νισάν(2 Μαρτίου με το Γρηγοριανό ημερολόγιο).

Ο Αριθμός

Παίρνουμε έναν οποιοδήποτε διψήφιο αριθμό «αβ» και δημιουργούμε έναν πενταψήφιο, χρησιμοποιώντας το διψήφιο δυο φορές και παρεμβάλλοντας το μηδέν «αβ0αβ». Με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το διψήφιο αριθμό για να βρούμε τον πενταψήφιο αριθμό; (Κατ.34/Νο.699)
Πηγή: IΔ΄ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 2013

Λύση

Με τον αριθμό 1.001. Έστω «ω» ο ζητούμενος αριθμός και ο πενταψήφιος αριθμός είναι της μορφής (10.000α+1.000β+0*100+10α+β).Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: αβ0αβ =ω*αβ --> 10.000α+1.000β+0*100+10α+β =ω*(10α+β) --> 10.010α+1.001β= ω*(10α+β) --> 1.001*(10α+β)=ω*(10α+β) --> ω=(1.001*(10α+β)/(10α+β) --> ω=1001 (1) Επαλήθευση: Έστω «α=2» και «β=5» αβ0αβ =ω*αβ --> 25025=1.001*25 Παρατηρούμε ότι ο πενταψήφιος αριθμός είναι μια χιλιάδα διψήφιου αθροιζόμενη με τον ίδιο, δηλαδή 1001. Αναλύοντας σε παράγοντες το 1001 έχουμε 7, 11, και 13. Άρα ο αρχικός διψήφιος αριθμός εμφανίζεται εκ νέου αφού πολλαπλασιάστηκε και διαιρέθηκε με τον ίδιο αριθμό, το 1001. 25025:7=3.575:11=325:13=25 Βλέπουμε ότι το αποτέλεσμα της τελευταίας διαίρεσης είναι ο αριθμός που ορίσαμε στο παράδειγμα (25), ο οποίος καλείται εκλεκτός αριθμός.

Το Γράμμα ΙΙ

Γράφουμε τη λέξη «ΔIAΓΩNIΣMOΣ» ξανά και ξανά την μια δίπλα στην άλλη, χωρίς κενά ώστε να σχηματιστεί η λέξη:

«ΔIAΓΩNIΣMOΣΔIAΓΩNIΣMOΣΔIAΓΩNIΣMOΣ...» 

Ποιo γράμμα βρίσκεται στη 2011^η θέση; Κατ.34/Νο.698)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/05/2011.html

Λύση

Το γράμμα «Μ». 2011=9mod11. Ή 2011/11 =182,8181...=182+9/11