Rebus No.110 (10,10)

Λύση

Γαληνότατη Δημοκρατία (Βενετία) [Γαλη(γάτα)νότα(νότα φα)τη Δημο(ς)(Δήμος Αναστασιάδης=Τραγουδιστής)κρατί(Κράτη Ε.Ε.)α]

Rebus No.109 (3,3,7)

Λύση

Αλί και Τρισαλί [Αλι(Αλή Πασάς)και(+=συν)Τρισ(3)αλί(Αλή Πασάς)]

Το Μήκος

Ο καπετάν Ανδρέας έχει δύο κομμάτια σχοινιού (παλαμάρια). Το ένα κομμάτι του σχοινιού έχει μήκος 56μ. και το άλλοι 98μ. Θέλει να κόψει το σχοινί σε κομμάτια με ίσα μήκη. Ποιο είναι το μεγαλύτερο δυνατό μήκος του κάθε κομματιού; (Κατ.34/Νο.635)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/07/blog-post_2911.html

Λύση

Το μεγαλύτερο δυνατό μήκος του κάθε κομματιού είναι 14μέτρα. Είναι ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης του 56 και του 98. Έστω «α» το ένα σχοινί των 56μ. και «β» το άλλο σχοινί των 98μ.(ΜΚΔ: 2*7=14).Άρα: Από το «α» κομμάτι σχοινιού 56μ. παίρνει 4 κομμάτια των 14μ. το καθένα (4*14=56μ.). Από το «β» κομμάτι σχοινιού 98μ. παίρνει 7 κομμάτια των 14μ. το καθένα (7*14=98μ.)

Οι Αριθμοί

Να βρεθούν οι διψήφιοι αριθμοί, οι οποίοι αντιστρέφονται όταν ισχύει:

α)(xy+1)/2=yx. 

β) (xy−2)/2=yx

γ) (xy−10)/2=yx.
(Κατ.34/Νο.634)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/09/blog-post_3453.html

Λύση

Έστω ο διψήφιος αριθμός «xy», ο οποίος είναι της μορφής (10x+y) και ο αντίστροφος του που είναι της μορφής (10y+x). Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: α)(10x+y+1)/2=10y+x --> 10x+y+1=2*(10y+x) --> 10x+y+1=20y+2x --> 10x-2x=20y-y-1 --> 8x=19y-1 --> x = (19y-1)/8 (1) Διερεύνηση: Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο «y» τις τιμές από το 1 έως το «9», βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό «x» είναι ο αριθμός y=3. Αντικαθιστούμε τη τιμή του «y» στην (1) κι’ έχουμε: x = (19y-1)/8 --> x = [(19*3)-1]/8 --> x = (57-1)/8 --> x = 56/8 --> x = 7 Επαλήθευση: (10x+y+1)/2=10y+x --> [(10*7)+3+1]/2=[(10*3)+7] --> 70+3+1/2=30+7 --> 74/2=37 (73 και 37) β)(10x+y-2)/2=10y+x --> 10x+y-2=2*(10y+x) --> 10x+y-2=20y+2x --> 10x-2x=20y-y+2 --> 8x=19y+2 --> x = (19y+2)/8 (1) Διερεύνηση: Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο «y» τις τιμές από το 1 έως το «9», βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό «x» είναι ο αριθμός y=2. Αντικαθιστούμε τη τιμή του «y» στην (1) κι’ έχουμε: x = (19y+2)/8 --> x = [(19*2)+2]/8 --> x = (38+2)/8 --> x = 40/8 --> x = 5 Επαλήθευση: (10x+y-2)/2=10y+x --> [(10*5)+2-2]/2=[(10*2)+5] --> 50/2=20+5 --> 50/2=25 (52 και 25) γ)(10x+y-10)/2=10y+x --> 10x+y-10=2*(10y+x) --> 10x+y-10=20y+2x --> 10x-2x=20y-y+10 --> 8x=19y+10 --> x = (19y+10)/8 (1) Διερεύνηση: Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο «y» τις τιμές από το 1 έως το «9», βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό «x» είναι ο αριθμός y=2. Αντικαθιστούμε τη τιμή του «y» στην (1) κι’ έχουμε: x = (19y+10)/8 --> x = [(19*2)+10]/8 --> x = (38+10)/8 --> x = 48/8 --> x = 6 Επαλήθευση: (10x+y-10)/2=10y+x --> [(10*6)+2-10]/2=[(10*2)+6] --> (60-8)/2=20+6 --> 52/2=26 (62 και 26)

Η Ίδια Ώρα

Σ΄ ένα ρολόι ο λεπτοδείκτης και ο ωροδείκτης έχουν το ίδιο μήκος. Το ρολόι δεν έχει αριθμούς. Ποια ώρα μεταξύ 6 και 7 η ώρα θα είναι ίδια,  είτε βλέπει  κάποιος το ρολόι κανονικά, είτε το βλέπει ανεστραμμένο μέσα από έναν καθρέπτη; (Κατ.27/Νο.367)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/08/blog-post_4443.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Κατακόρυφη Αναστροφή. Αναστροφή ως προς τον άξονα 12-6(κατακόρυφο). Αφού ο ένας δείκτης είναι μεταξύ 6 και 7 ο άλλος πρέπει να είναι μεταξύ 5 και 6 και η εξίσωση γίνεται 12χ=30-χ =>χ=30/13=2,308 =>30-2,308= 27,692. Άρα 6 ώρες 27 λεπτά και (0.692*60=)41,52 δευτερόλεπτα. Άρα η ώρα είναι 6:27:41,52. Οριζόντια Αναστροφή. Αναστροφή ως προς τον άξονα 9-3(οριζόντιο). "Γεωμετρική" αντιστοιχία λεπτών-ωρών 60/5=12 Ελέγχω την 6:55, 55/12=4,5833..μικρότερο του 5, άρα μεγαλύτερη 6:56, 56/12=4,66..μεγαλύτερο του 4, μικρότερη. Άρα η ζητούμενη ώρα είναι μεταξύ 6:55 και 6:56, αλλά πόσο ανάμεσα? Έστω ότι θέλουμε να την υπολογίσουμε με ακρίβεια χιλιοστών του λεπτού(μαθηματική έκφραση, θα εκφρασθεί αφού υπολογισθεί), σε δευτερόλεπτα και δέκατα του δευτερολέπτου. Ισχύει η σχέση (για να είναι συμμετρικά το άκρο του δείκτη των ωρών με τον δείκτη των λεπτών, ως προς την ευθεία 9-3) (55+(χ/1000))/12=4+(1000-χ)/1000, η επίλυση της οποίας δίνει χ=5000/13=384,62 Έλεγχος 55,38462/12=4,61538 4.61538+0,38462=5, ακριβώς συμμετρικό! Μετατροπή των χιλιοστών του λεπτού σε δευτερόλεπτα 0,38462*60=23.077 δευτερόλεπτα. Άρα η ώρα πρέπει να είναι 6:55:23. 2η λύση (στην ουσία πιο σύντομη). Αφού ο ένας δείκτης πρέπει να είναι μεταξύ 6 και 7 ο άλλος δείκτης, αφού όταν αναστραφεί το ρολόι πρέπει να δείχνει την ίδια ώρα, πρέπει να είναι μεταξύ 11 και 12 σε συμμετρική θέση ως προς 9-3, άσχετα που δεν έχει αριθμούς το ρολόι, βρίσκεται από τις γραμμές που υπάρχουν στο ρολόι. Έστω χ ένδειξη του δείκτη μεταξύ 6 και 7 (ώρες), από 6 προς 7, άρα ο άλλος δείκτης των λεπτών πρέπει να δείχνει (60-χ) και βάσει της γεωμετρικής αναλογίας ώρας και λεπτών 60/5=12 έχουμε 12χ=60-χ => χ=60/13=4,615 Άρα λεπτά 60-4,615=55,385=55 λεπτά και 0,385*60=23,1 δευτερόλεπτα, άρα η ώρα πρέπει να είναι 6:55:23 και 1/10 του δευτερολέπτου.

Rebus No.108 (11)

Λύση

Αμεμιστήρας [Ανεμι(Άνεμοι=Ανεμολόγιο)στήρας(Νέα Στύρα –Ευβοίας)]

Η Διαφορά

Τον Ιανουάριο κάποιου έτους η Χριστίνα λέει στη μητέρα της: 

-«Μαμά, η ηλικία μου είναι το 1/6 της ηλικίας σου». 

Τον Ιανουάριο του επόμενου έτους η Χριστίνα λέει στον πατέρα της: 

-«Μπαμπά, η ηλικία μου είναι το 1/6 της ηλικίας σου».  

Ποια είναι η διαφορά των ηλικιών των γονιών της Χριστίνας. (Κατ.34/Νο.633) 

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/07/blog-post_4032.html

Λύση

Η διαφορά των ηλικιών των γονιών της Χριστίνας είναι 5 έτη. Έστω «x» η ηλικία της Χριστίνας , «y» η ηλικία της μητέρας και «z» η ηλικία του πατέρα. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: x = y/6 (1) (x+1) = (z+1)/6 (2) Από την (1) συνάγουμε ότι: x = y/6 --> y = 6x (3) Από τη (2) συνάγουμε ότι: (x+1) = (z+1)/6 --> 6(x+1) = z+1 --> z = 6x+6-1 --> z = 6x+5 (4) Αντικαθιστούμε τη (3) στη (4) κι’ έχουμε: z = 6x+5 --> z = y+5 (5) Άρα ο πατέρας είναι 5 χρόνια μεγαλύτερος από τη μητέρα.