Η Διαδρομή

Στο ανωτέρω διάγραμμα βλέπουμε πέντε χωριά A, B, C, D και E και τις μεταξύ τους χιλιομετρικές αποστάσεις. Ένας ταχυδρόμος ξεκινάει από το χωριό Α και αφού περάσει από μία φορά όλα τα χωριά  επιστρέφει στο χωριό Α. Βλέπε σχήμα ανωτέρω. Ποια είναι η διαδρομή που πρέπει να ακολουθήσει, προκειμένου να διανύσει τη μικρότερη απόσταση; (Κατ.27/Νο.54) 

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/05/blog-post_5631.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Υποθέτω καταρχήν "αφαιρετικά" ότι δεν υπάρχει το Ε χωριό, η διαδρομή ABCDA (ή το αντίστροφο ADCBA ανάλογα με την αριστερόστροφη ή δεξιόστροφη προτίμηση του ταχυδρόμου!) =7+10+6+8=31χλμ. Πρέπει να βρω παράκαμψη από τον "περιφερειακό" προς το Ε με την μικρότερη δυνατή χιλιομετρική επιβάρυνση και αυτή είναι η AED=4+5=9 αντί της AD=8, 9-8=1xλμ (οι άλλες παρακάμψεις είναι 5+6-6=5>1, 6+7-10=3>1, 7+4-7=4>1) Συνεπώς η ABCDEA (ή AEDCBA) = 7+10+6+5+4=32χλμ. είναι η μικρότερη διαδρομή.

Οι Εισπράξεις

 Ο Λουκάς, πριν κλείσει το μανάβικο του, για να πάει στο σπίτι του, ανοίγει το ταμείο του για να δει πόσα χρήματα εισέπραξε από τη πώληση των λαχανικών και των φρούτων. Μετράει τα χρήματα και βρίσκει ότι είναι 830 ευρώ, σε χαρτονομίσματα των 10, 20 και 50 ευρώ. Διαπιστώνει ότι, οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των χαρτονομισμάτων κάθε είδους είναι διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί. Πόσα χαρτονομίσματα των 50 ευρώ είχε στο ταμείο του o Λουκάς; (Κατ.34/Νο.561)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2012/05/blog-post_1776.html

Λύση

Ο μανάβης είχε 11 χαρτονομίσματα των 50€. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: 10α+20*(α-1)+50*(α+1)=830 --> 10α+20α-20+50α+50=830 --> 10α+20α+50α=830+20-50 --> 80α=850-50 --> 80α=800 --> α=800/80 --> α=10 (1) Επαλήθευση: 10α+20*(α-1)+50*(α+1)=830 --> 10*10+20*(10-1)+50*(10+1)=830 --> 10*10+20*9+50*11=830 --> 100+180+550=830 ο.ε.δ.

Το Ενυδρείο

Πόσα λίτρα νερό περιέχει το ενυδρείο, όταν είναι γεμάτο με νερό; (Κατ.34/Νο.560)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/05/blog-post_532.html

Λύση

Περιέχει 12,50lt νερό. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε Κατάταξη: Το 80% του ενυδρείου αποτελείται από 10lt. νερό, Το 20% του ενυδρείου αποτελείται από x; νερό x=((20*10)/100)/80/100 --> x=20*10*100/80*100 --> x=20.000/8.000 --> x=2,50lt Το 50% του ενυδρείου περιέχουν 5+1,25=6,25lt νερό. Το 100% ενυδρείου περιέχουν 6,25*2=12,50lt. νερό.

Ματ σε Τρεις

Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε 3 κινήσεις.(Δαμόκλειος Σπάθη)

Λύση

1.Αη6!(zz),Ρ:δ3 2.Πζ2+,Ρ:ε3 3.β7#, 1....,Ρ:δ3 2.Πζ2+,Ργ3Ργ4 3.Πγ2#

Τα Σπίτια

Εάν εννέα εργάτες κτίζουν εννέα σπίτια σε εννέα μήνες, τότε σε πόσους μήνες ένδεκα εργάτες θα κτίσουν ένδεκα σπίτια; (Κατ.34/Νο.559)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/05/blog-post_8331.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Οι 11 εργάτες θα κτίσουν 11 σπίτια σε 9 μήνες! Βάσει της συνθέτου μεθόδου των τριών έχουμε: 9 εργάτες κτίζουν 9 σπίτι σε 9 μήνες, 1 εργάτης κτίζει 1 σπίτι σε 9 μήνες, 11 εργάτες κτίζουν 1 σπίτι σε 9/11 μήνες, 11 εργάτες κτίζουν 11 σπίτια σε:11*(9/11)=9 μήνες

Οι Χαρακτήρες

Πόσα γράμματα θα χρειαστούμε, για να γράψουμε όλους τους αριθμούς από το 1 έως και το 1.000; 
Για παράδειγμα 
Για να γράψουμε τους αριθμούς από το 1 έως και το 5 με γράμματα: 
ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε. 
χρειάζονται: 3 + 3 + 4 + 7 + 5 = 22 γράμματα. (Κατ.27/Νο.344)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/01/blog-post_182.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Για να γράψουμε τους αριθμούς από το 1 έως το 1.000 χρειάζονται 17.784 χαρακτήρες. Από το 1-9 : ένα δύο τρία τέσσερα πέντε έξι εφτά οκτώ εννιά: 3 + 3 + 4 + 7 + 5+3+4+4+5=38 γράμματα. Από το10-19: δέκα ένδεκα δώδεκα δεκατρία δεκατέσσερα δεκαπέντε δεκαέξι δεκαεφτά δεκαοκτώ δεκαεννιά: 4+6+6+8+11+9+7+8+8+9=76 γράμματα. Από το 20-99: 10* (είκοσι τριάντα σαράντα πενήντα εξήντα εβδομήντα ογδόντα ενενήντα) + (8* 38) 10* (6+7+7+7+6+9+7+8) +8*38= (10*57)+(8*38)=570+304=874 γράμματα. Άρα από το 1 έως το 99 έχουμε : 38+76+874= 988 γράμματα. Από το 100 έως το 999: Το 100 είναι 'εκατό' =5 γράμματα. Μετά έχουμε:( εκατόνένα, εκατόνδύο, ..εκατόνενενήνταεννιά) Από 1-99 9φορές δίνουν 988*9= 8.892 γράμματα. Εκατόν (6γρ.) *99=594 γράμματα. Διακόσια(8γρ.)*100= 800 γράμματα. Τριακόσια (9γρ.)*100=900 γράμματα. Τετρακόσια (10γρ.)*100=1.000 γράμματα. Πεντακόσια (10γρ.)*100=1.000 γράμματα. Εξακόσια(8γρ.) *100= 800 γράμματα. Εφτακόσια (9γρ.)*100= 900 γράμματα. Οχτακόσια (9γρ.)*100=900 γράμματα. Εννιακόσια (10γρ.)*100=1.000 γράμματα. Συν το 1.000 (χίλια) = 5 γράμματα. ΣΥΝΟΛΟ: 38+76+874+5+8892+594+800+900+1000+1000+800+900+ 900+1000+5=17.784 γράμματα.

Διαστάσεις Ορθογωνίου

Να βρεθούν οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου με:

Α)Εμβαδόν 10εκ.^2, και Περίμετρο 14εκ.

Β)Εμβαδόν 180εκ.^2, και Περίμετρο 56εκ.

Γ)Εμβαδόν 97,50εκ.^2, και Περίμετρο 41εκ. (Κατ.34/Νο.558)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/01/blog-post_4882.html

Λύση

Λύση του Ν. Λέντζου. Και οι τρεις περιπτώσεις αντιμετωπίζονται με τον ίδιο τρόπο. Αν γνωρίζουμε το άθροισμα S και το γινόμενο P δύο αριθμών τότε τότε οι αριθμοί αυτοί είναι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης Χ^2 - SΧ + Ρ = 0 Έτσι λοιπόν για την πρώτη περίπτωση είναι S=7 και Ρ=10 και η εξίσωση είναι χ^2-7χ+10=0 με ρίζες 2 και 5. Αν α, β είναι λοιπόν οι διαστάσεις (με α<β), τότε α=2cm και β=5cm. Όμοια και για την δεύτερη περίπτωση με εξίσωση χ^2-28χ+180=0 με ρίζες 10 και 18 και διαστάσεις α=10cm και β=18cm. Όμοια και για την τρίτη περίπτωση με εξίσωση χ^2-20,5χ+97,5=0 ή 2χ^2-21χ+195=0 με ρίζες 7,5 και 13 και κατά συνέπεια διαστάσεις α=7,5cm και β=13cm. Λύση του Papaveri. Α)Ο τύπος του εμβαδού του ορθογωνίου είναι: Ε=β*υ (1) Ο τύπος της περιμέτρου του ορθογωνίου είναι: Π=2*(β+υ) (2) Από την (1) συνάγουμε ότι: Ε=β*υ --> 10=β*υ --> β=10/υ (3) Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε: Π=2*(β+υ) --> 14=2*[(10/υ)+υ] --> 14=2*(10+υ^2)/υ --> 2*(10+υ^2)=14υ --> 20+2υ^2=14υ --> 2υ^2-14υ+20=0 Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε: x=(-β+/-sqrt[(β^2-4αγ)]/2α --> x=14+/-sqrt[(-14)^2-(4*2*20)]/2*2 --> x=[14+/-sqrt(196-160)]/4 --> x=[14+/-sqrt(36)]/4 --> x=(14+/-6)/4 --> x1=(14+6)/4 --> x1=20/4 --> x1= 5, x2=(14-6)/4 --> x2=8/4 --> x2= 2 Επαλήθευση: Ε=β*υ --> Ε=5*2 --> Ε=10εκ.2 Π=2*(β+υ) --> Π=2*(5+2) --> Π=2*7 --> Π=14εκ. Β) Ο τύπος του εμβαδού του ορθογωνίου είναι: Ε=β*υ (1) Ο τύπος της περιμέτρου του ορθογωνίου είναι: Π=2*(β+υ) (2) Από την (1) συνάγουμε ότι: Ε=β*υ --> 180=β*υ --> β=180/υ (3) Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε: Π=2*(β+υ) --> 56=2*[(180/υ)+υ] --> 56=2*(180+υ^2)/υ --> 2*(180+υ^2)=56υ --> 360+2υ^2=56υ --> 2υ^2-56υ+360=0 Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε: x=(-β+/-sqrt[(β^2-4αγ)]/2α --> x=56+/-sqrt[(-56)^2-(4*2*360)]/2*2 --> x=[56+/-sqrt(3.136-2.880)]/4 --> x=[56+/-sqrt(256)]/4 --> x=(56+/-16)/4 --> x1=(56+16)/4 --> x1=72/4 --> x1= 18, x2=(56-16)/4 --> x2=40/4 --> x2= 10 Επαλήθευση: Ε=β*υ --> Ε=18*10 --> Ε=180εκ.2 Π=2*(β+υ) --> Π=2*(18+10) --> Π=2*28 --> Π=56εκ. Γ ) Ο τύπος του εμβαδού του ορθογωνίου είναι: Ε=β*υ (1) Ο τύπος της περιμέτρου του ορθογωνίου είναι: Π=2*(β+υ) (2) Από την (1) συνάγουμε ότι: Ε=β*υ --> 97,50=β*υ --> β=97,50/υ (3) Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε: Π=2*(β+υ) --> 41=2*[(97,50/υ)+υ] --> 41=2*(97,50+υ^2)/υ --> 2*(97,50+υ^2)=41υ --> 195+2υ^2=41υ --> 2υ^2-41υ+195=0 Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε: x=(-β+/-sqrt[(β^2-4αγ)]/2α --> x=41+/-sqrt[(-41)^2-(4*2*195)]/2*2 --> x=[41+/-sqrt(1.681-1.560)]/4 --> x=[41+/-sqrt(121)]/4 --> x=(41+/-11)/4 --> x1=(41+11)/4 --> x1=52/4 --> x1= 13, x2=(41-11)/4 --> x2=30/4 --> x2= 7,50 Επαλήθευση: Ε=β*υ --> Ε=13*7,50 --> Ε=97.50εκ.2 Π=2*(β+υ) --> Π=2*(13+7,50) --> Π=2*20,50 --> Π=41εκ.