Ματ σε Δύο

 Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε δύο κινήσεις.

( Ο Σαμουήλ-Ερρίκος ο Νυκτοπάτης/Νο.5)

Λύση

Κείμενο που θα κρύβεται.

Ο Τριψήφιος Αριθμός

Να βρεθεί ένας τριψήφιος αριθμός, αν γνωρίζουμε ότι:

▪ το άθροισμα των ψηφίων του είναι 9

▪ το γινόμενο των ψηφίων του είναι 24 και

▪ αν διαβάσουμε τον αριθμό από δεξιά προς τα αριστερά, τότε ο αριθμός αυτός είναι ίσος με τα 27/38 του αρχικού.

(Κατ.34/Πρβλ. Νο.517)

Πηγή:?

Λύση

Λύση του batman1986. Έστω ΑΒΓ ο τριψήφιος αριθμός Σύμφωνα με τα δεδομένα έχουμε Α+Β+Γ=9(1) Α*Β*Γ=24(2) Γ*100+Β*10+Α=27/38*(Α*100+Β*10+Γ) (3) το σύστημα ως 3χ3 είναι αρκετά δύσκολο να λυθεί οπότε μάλλον θα χρειαστέι διερεύνηση θα εξετάσουμε αρχικά ποιοι αριθμοί ικανοποιούν τις (1) και (2) ταυτόχρονα και εν συνεχεία ποια(μοναδική) ικανοποιεί και την (3) Οι Α ,Β,Γ είναι προφανώς μονοψήφιοι ακέραιοι Για να ικανοποιούνται οι (1) και (2) πιθανές τριάδες είναι 2,3,4 ή 2,6,2 Ελέγχουμε ποια από τις 2 επαληθεύει την (3) Το 2,6,2 δεν είναι Άρα είναι η τριάδα 2,3,4 βλεπουμε ότι ο 342 είναι ο αριθμός που ζητάμε αφού κάνοντας επαλήθευση 243=(27/38)*342 Ο αριθμός 622 δεν πρέπει να ληφθεί υπόψιν λόγω μη αθροίσματος σε 9 των ψηφίων του. Λύση Papaveri. Διερεύνηση: Oι τριψήφιοι αριθμοί που έχουν άθροισμα 9 και γινόμενο 24 είναι οι κάτωθι: 234, 243, 324, 342, 432, 423, Ο μόνος τριψήφιος αριθμός που ικανοποιεί τη συνθήκη του προβλήματος είναι ο αριθμός 342. 3+4+2=9 3*4*2=24 243=342*(27/38) --> 243= 9234/38 ο.ε.δ.

Η Ηλικία

Η κυρία Μαρία, στα νιάτα της αγαπούσε πολύ τα μαθηματικά, και απ’ ότι φαίνεται το μυαλό της δεν την έχει εγκαταλείψει ακόμη. Προχθές που τη ρώτησα να μου πει την ηλικία της, μου απάντησε με το παρακάτω τρόπο:

-"Αν αντιστρέψεις τους δύο αριθμούς που σχηματίζουν την ηλικία μου, θα βρεις το 1/3 της ηλικίας που είχα πριν από πέντε χρόνια".

Ποια είναι η ηλικία της κυρίας Μαρίας; (Κατ.26/Πρβλ. Νο.4)

Λύση

Έστω ότι η ηλικία της θείας μου Μαρίας είναι «αβ» και η δικιά μου «βα», οι οποίοι παριστάνονται (10α+β) και (10β+α).. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε: 10α+β=[(10β+α)-5]/3 --> 3*(10α+β)=(10β+α)-5 --> 30α+3β=(10β+α)-5 --> 30α-α=(10β-3β)-5 --> 29α=7β-5 --> α=(7β-5)/29 (1) Διερεύνηση: Δίνοντας στο "β" τις τιμές από το 1 έως το 9, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που δίνει ακέραιο "α" είναι ο αριθμός 9. Αντικαθιστούμε τη τιμή του "β" στην (1) κι’ έχουμε: α =(7β-5)/29 --> α =[(7*9)-5)]/29 --> α = (63-5)/29 --> α =58/29 --> α =2 Άρα η θεία μου είναι 92 ετών κι’ εγώ 29 ετών. Επαλήθευση: 10α+β=[(10β+α)-5]/3 --> 10*2+9=[((10*9)+2)-5]/3 --> 20+9=[(90+5)-5]/3 --> 29=(92-5)/3 --> 29= --> 29=29 ο.ε.δ.

Ματ σε Δύο

 Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε δύο κινήσεις.

(Ο Σαμουήλ-Ερρίκος ο Νυκτοπάτης/Νο.4)

Λύση

Κλειδί:1.Αγ2!,Ρθ6 2.Ιζ4#. 1...,Ρη8/α1Β/α1Α 2.Ιε7#. 1...,α1Ι 2.Βθ8#. Δοκιμή:1.Ιε7??(>2.Αγ2#), α1Ι! 2.?ματ

Ο Διψήφιος Αριθμός

 

Διψήφιου αριθμού το ψηφίο των μονάδων είναι διπλάσιο του ψηφίου των δεκάδων. Εάν αλλάξουμε τη θέση των ψηφίων του αριθμού προκύπτει ένας νέος αριθμός μεγαλύτερος του πρώτου κατά 36 μονάδες. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;(Κατ.26/Πρβλ. Νο.19)

Λύση

Ο διψήφιος αριθμός είναι ο 48. Έστω ότι είναι «α» το ψηφίο των δεκάδων, το ψηφίο των μονάδων θα είναι 2α, σύμφωνα με την εκφώνηση του προβλήματος. Ο αριθμός αυτός παριστάνεται (10α+2α) ή 12α. Εάν αντιστρέψουμε τη θέση των ψηφίων ο νέος αριθμός θα έχει τη μορφή (2α*10)+α --> (20α+α) ή 21α . Αλλά ο νέος αριθμός είναι μεγαλύτερος κατά 36 μονάδες του αρχικού αριθμού. Εάν από το 21α αφαιρέσουμε το 36, οι δύο αυτοί αριθμοί θα είναι ίσοι. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε: 21α-36 = 12α --> 21α-12α = 36 --> 9α = 36 --> α = 36/9 --> α = 4 Επαλήθευση: [(20α)+α] –36 = [(10α)+2α] --> [(20*4)+4]-36 = [(10*4)+(2*4)] --> (80+4)-36=(40+8) --> 84-36 = 48 --> 48 = 48 ο.ε.δ. Άρα το ψηφίο των δεκάδων είναι το 4 το δε ψηφίο των μονάδων είναι το 2*4 = 8 και ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 48, ο δε αντιστραμμένος αριθμός είναι ο 84.

Ματ σε Δύο

Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε δύο κινήσεις.
(Ο Σαμουήλ-Ερρίκος ο Νυκτοπάτης/Νο.3)

Λύση

Κλειδί:1.Πα4!,Ρ:α4 2.Αγ6# 1…,Ργ5 2.Ββ4# 1…Ρβ6 2.Βα5#.

Η Ηλικία του κ. Παράξενου

Ρώτησαν το κ. Παράξενο πόσο ετών ήταν κι’ αυτός απάντησε ως εξής:

-"Το άθροισμα των  δύο ψηφίων, που σχηματίζουν τον αριθμό των χρόνων
   μου,  ισούται με 9. Εάν προσθέσετε στην ηλικία μου άλλα 9 χρόνια,
   προκύπτει ο αρχικός διψήφιος αριθμός  αντεστραμμένος."

Ποια είναι η ηλικία του κ. Παράξενου;

(Κατ.26/Πρβλ. Νο.28)

Λύση

Έστω ότι είναι "α" το ψηφίο των δεκάδων και "β" το ψηφίο των μονάδων της ηλικία του κ.Παράξενου, τα οποία αθροιζόμενα μας δίδουν τον αριθμό 9. Ο αριθμός αυτός παριστάνεται ως 10α+β. Εάν στον αριθμό αυτό προσθέσουμε τον αριθμό 9 προκύπτει ο αρχικός αριθμός αντεστραμμένος, ο οποίος έχει τη μορφή 10β+α. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε τη σχέση: α + β = 9 (1) 10α + β + 9 = 10β + α (2) Από την (1) συνάγουμε ότι: α + β = 9 --> α = 9 – β (3) Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε: 10α+β+9=10β+α --> [10*(9-β)+β+9]=10β+9–β --> 90–10β+β+9=10β+9–β --> 10β+10β–β–β=90+9–9 --> 20β–2β=90 --> 18β=90 --> β=90/18 --> β=5 Αντικαθιστούμε τη τιμή του "β" στη (3) κι’ έχουμε: α=9–β --> α=9–5 --> α=4 Επαλήθευση: α+β=9 --> 4+5=9 10α+β+9=10β+α --> [(10*4)+5+9]=[(10*5)+4] --> 40+5+9=50+4 --> 40+5+9=54 ο.ε.δ. Λύση του N. Lntzs. Η ηλικία του είναι 45. Η απάντηση προκύπτει από τη λύση του συστήματος x+y=9 10x+y+9=10y+x που εύναι ισοδύναμο με x+y=9 χ-y=1 και με λύση x=5 και y=4 Επαλήθευση: 10x+y+9=10y+x --> 10*4+5+9=10*5+4 --> 40+5+9=50+4 --> 45+9=54