Οι Αριθμοί

Το άθροισμα δυο αριθμών είναι 45. Το άθροισμα του λόγου τους και του αντίστροφου του λόγου τους είναι 2,05. Ποιοι είναι οι αριθμοί;

Πηγή: Εισαγωγικές Εξετάσεις στη Σχολή Ικάρων, 1967

Λύση

Οι αριθμοί είναι ο 20 και ο 25. Έστω α και β οι αριθμοί. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
(α+β)=45 (1)
α/β+β/α=2,05 (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
(α+β)=45 --> β=45-α (3)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
α/β+β/α=2,05 --> α^2+β^2=2,05αβ --> (α+β)^2-2αβ= 2,05αβ =>
45^2=2αβ+2.05αβ --> 2.025= 4,05αβ --> αβ=2.025/4.05--> αβ=500 (4)
Αντικαθιστώ τη τιμή β από τη (3) στη (4) κι’ έχουμε:
α*(45-α)=500 --> 45α –α^2 =500 --> α^2-45α+500=0
Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x = -β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α έχουμε:
x = -β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α --> x = -β±sqrt[(-45)^2-4*1*500]/2*1 --->
x = -β±sqrt[2.025-2.000]/2 --> x =[45±sqrt(25)]/2 --> x = (45±5)/2
x1=(45+5)/2 --> x1=50/2 --> x1=25
x2=(45-5)/2 --> x2=40/2 --> x2=20
Άρα:
α=25 ή α=20 και β=20 ή β=25 αντίστοιχα.
Επαλήθευση:
(α+β)=45 --> 25+20=45
α/β+β/α=2,05 -->(25/20)+(20/25)=2,05 --> 1,25+0,80=2,05
(α+β)=45 --> 20+25=45
α/β+β/α=2,05 --> (20/25)+(25/20)=2,05 --> 0,80+1,25=2,05