Ο Διψήφιος Αριθμός

Διψήφιου αριθμού τα ψηφία εάν τ’ αντιστρέψουμε σχηματίζεται ένας νέος διψήφιος αριθμός, ο οποίος είναι κατά 45 μονάδες μεγαλύτερος από τον αρχικό. Εάν πολλαπλασιάσουμε επί 3 το ψηφίο των δεκάδων  και από το γινόμενο αφαιρέσουμε το ψηφίο των μονάδων προκύπτει ο αριθμός 3. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

Λύση

Ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 49. Έστω ότι είναι α το ψηφίο των δεκάδων και β το ψηφίο των μονάδων. Ο αριθμός αυτός παριστάνεται ως 10α+β . Εάν αντιστρέψουμε τη θέση των ψηφίων ο νέος αριθμός θα έχει τη μορφή 10β+α, ο οποίος είναι κατά 45 μονάδες μεγαλύτερος του αρχικού αριθμού. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις:
10α+β+45 = 10β+α (1)
3α-β = 3 (2)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
3α-β=3 ---> β = 3α –3 (3)
Αντικαθιστούμε τη τιμή του β στην (1) κι’ έχουμε:
10α+β+45 = 10β+α ---> 10α +3α-3+45 = 10*(3α-3)+α ---> 13α+42 = 30α-30+α ----> 13α+42 = 31α-30 ----> 31α-13α = 42+30 ----> 18α = 72 ----> α =72/18 ----> α = 4 (4)
Αντικαθιστούμε τη τιμή του α στη (3) κι’ έχουμε:
β = 3α –3 ----> β = (3*4)-3 ----> β = 12-3 ----> β = 9 (5)
Επαλήθευση:
10α+β+45=10β+α ----> (10*4)+9+45=(10*9)+4 ----> 40+9+45=90+4 = 94
3α-β = 3 ----> [(3*4)-9]=3 ----> 12-9=3 ο.ε.δ