Ρωτάει ο εγγονός τον παππού του:
-«Ποτέ γεννήθηκες παππού;»
Και ο παππούς του απαντάει:
-«Γεννήθηκα τον 20ο αιώνα. Το 1967, η ηλικία μου ήταν
το άθροισμα των
ψηφιών του έτους γεννήσεως μου.»
ψηφιών του έτους γεννήσεως μου.»
Ποιο έτος γεννήθηκε ο παππούς;
Πηγή:https://drive.google.com/file/d/0B8YC2ZtENtdoTlZrWTBGQ0UxSm8/view (Πρβ. Νο.318)
Λύση
Ο παππούς γεννήθηκε το 1951, και το 1967 ήταν 16 ετών. Έστω ότι ο παππούς γεννήθηκε το έτος 19αβ. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:1967-19αβ=1+9+α+β (1)
1967-19αβ=1+9+α+β ---> 1967-19αβ=10+α+β ----> 1967-1900-αβ=10+α+β ----> 67-αβ=10+α+β ----> 67-10-αβ = α+β ----> 57-αβ = α+β ----> 57-10α-β=α+β ----> 57-10α-α=β+β ---> 57-11α=2β ----> β=(57-11α)/2 (2)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "α" τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "β" είναι ο αριθμός α=5 (3)
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «α» στην (2) κι’ έχουμε:
β=(57-11α)/2 ---> β=[57-(11*5)]/2 ----> β=(57-55)/2 ----> β=2/2 ---->
β=1 (4)
Επαλήθευση:
1967-19αβ=1+9+α+β ---> 1967-1951=1+9+5+1 ----> 16=1+9+5+1 ο.ε.δ.
Αναρτήσεις
3 σχόλια:
Έστω ότι ο παππούς γεννήθηκε το έτος 19αβ , όπου α,β φυσικοί από 0 έως 9 ο καθένας. Έστω επίσης ότι το έτος 1967 είναι χψ χρόνων , όπου πάλι χ,ψ φυσικοί στο διάστημα [0,9].
Το 1967 από τα δεδομένα ισχύει 10+α+β = 10χ+ψ (1), όπου 10+α+β το άθροισμα των ψηφίων του έτους γέννησης του. Επίσης η διαφορά 1967 - 19αβ = με την ηλικία του. Άρα
67 -10α - β = 10χ+ψ (2), άπο (1) , (2) είναι 57 = 11α+2β , ακέραιες λύσης αυτής είναι α = 5 και β = 1. Άρα ο παππούς γεννήθηκε το 1951 και το 1967 ήταν 16 ετών.
Επαλήθευση : 1951 , άθροισμα ψηφίων 1+9+5+1 = 16
@Iordanis Kosoglou
Πολύ ωραία η διατύπωση της λύσης!!
Η εξισωση 11α+52β=57 λύνεται ως εξής:
11α=57-2β
α=57/11-2β/11=5+2/11-2β/11=5+2(1-β)/11
Για να είναι ο α ακέραιος πρέπει το (1-β) να είναι πολλαπλάσιο του, αφού ο 11 και ο 2 είναι πρώτοι. Εστω: 1-β=11κ, όπου κ ακέραιος.
Τότε: 10>1-11κ=β>0 (ο β είναι ψηφίο δηλ. φυσικός μικρότερος του 10) οπότε:
10>1-11κ>0
9>-11κ>-1
-9/11<κ<1/11
Ο μόνος ακέραιος στο διάστημα (-9/11,1/11) είναι το μηδέν, άρα: κ=0 συνεπώς:
1-β=11κ=11*0=0 άρα: β=1
και: α=5+2(1-β)/11=5+2(1-1)/11=5+2*0/11=5+0=5
Δημοσίευση σχολίου